Εντοπισμός κορυφής

KARKAR · #1

: Εντοπισμός σημείου.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Τρίγωνο

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R)

. Η

τέμνει την

στο σημείο

,

από το οποίο φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Φυσικά είναι : $PT \parallel BC$ ( γιατί ; ) .

Αν R=3

και η χορδή

έχει απόστημα d=1

, εντοπίστε τη θέση της κορυφής

,

ώστε τα P,O,T

να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

Ερώτημα bonus : Για την θέση του

που βρήκατε , εξετάστε αν : (APT)=(PTCB)

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 9:42 am
Εντοπισμός σημείου.pngΤρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η τέμνει την στο σημείο ,

από το οποίο φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Φυσικά είναι : $PT \parallel BC$ ( γιατί ; ) .

Αν και η χορδή έχει απόστημα , εντοπίστε τη θέση της κορυφής ,

ώστε τα να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Ερώτημα bonus : Για την θέση του που βρήκατε , εξετάστε αν : .

Λίγο σύντομα για την παραλληλία .
Έστω ότι η προέκταση της

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

. Φέρνουμε

και

.
Είναι

και

. Από το θεώρημα του Θαλή είναι:

$\frac{AP}{PB}=\frac{AS}{SD}$

$\frac{AT}{TC}=\frac{AS}{SD}$
Από τις δυο αυτές σχέσεις έχουμε το ζητούμενο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 9:42 am
Εντοπισμός σημείου.pngΤρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η τέμνει την στο σημείο ,

από το οποίο φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Φυσικά είναι : $PT \parallel BC$ ( γιατί ; ) .

Αν και η χορδή έχει απόστημα , εντοπίστε τη θέση της κορυφής ,

ώστε τα να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Ερώτημα bonus : Για την θέση του που βρήκατε , εξετάστε αν : .

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

Είναι, $\displaystyle \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{AS}}{{SA'}} = \frac{{AT}}{{TC}} \Leftrightarrow PT||BC$

: Εντοπισμός κορυφής.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Από την ομοιότητα των POS, BSA'

είναι $\displaystyle \frac{{PO}}{{BS}} = \frac{{PS}}{{BA'}} \Leftrightarrow \frac{{AO}}{{AS}} = \frac{{AS}}{{AA'}} \Leftrightarrow A{S^2} = 18 \Leftrightarrow$ $\boxed{AS=3\sqrt 2}$

$\displaystyle \frac{{SO}}{{AS}} = \frac{1}{{{h_a}}} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 2 - 3}}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{{h_a}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{h_a} = 2 + \sqrt 2}$ και έτσι εντοπίζεται η κορυφή

$\displaystyle B{M^2} = 8 \Leftrightarrow BC = 4\sqrt 2$ και $\displaystyle \frac{{PT}}{{BC}} = \frac{{AO}}{{AS}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{PT=4}$

Bonus: $\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}4\sqrt 2 (2 + \sqrt 2 ) \Leftrightarrow \frac{{(ABC)}}{2} = 2 + 2\sqrt 2 = \frac{{PT + BC}}{2} \cdot 1 = (PTCB)$

Άρα, $\boxed{(APT)=(PTCB)}$

Εντοπισμός κορυφής

Εντοπισμός κορυφής

Re: Εντοπισμός κορυφής

Re: Εντοπισμός κορυφής

Μέλη σε σύνδεση