Καθετότητα σε κύκλο

#1

: Καθετότητα σε κύκλο.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Το σημείο

κινείται στο ύψος

τριγώνου

Οι

τέμνουν τις AC, AB

στα

αντίστοιχα. Ο κύκλος

που διέρχεται από τα σημεία D, E, F

επανατέμνει την

στο

και το ύψος στο

Να δείξετε ότι $KL\bot EF.$

Ας το αφήσουμε ένα 24ωρο σε μαθητές.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 05, 2020 7:30 pm

Καθετότητα σε κύκλο.png
Το σημείο κινείται στο ύψος τριγώνου Οι τέμνουν τις στα αντίστοιχα. Ο κύκλος

που διέρχεται από τα σημεία επανατέμνει την στο και το ύψος στο Να δείξετε ότι $KL\bot EF.$

Ας το αφήσουμε ένα 24ωρο σε μαθητές.

Όμορφη άσκηση!

Έστω $T \equiv FE \cap BC$ . Τότε, από το πλήρες τετράπλευρο AFDE.BC

έχουμε ότι κάθε διαγώνιος του διαιρεί αρμονικά τις άλλες δύο, οπότε αν $S \equiv AD \cap FE$ , είναι (T,F,S,E)=-1

. Αφού όμως $\angle SDT=90^\circ$ , είναι και $\angle FDS=\angle SDE$ .

Άρα, η

διχοτομεί την $\angle FDE$ . Οπότε, $\angle LFE=\angle LDE=\angle LDF=\angle LEF$ , συνεπώς LE=LF

. Επίσης η

είναι διάμετρος του κύκλου (αφού $\angle LDK=90^\circ$ ), άρα $\angle EFK=90^\circ-\angle LFE=90^\circ-\angle LEF=\angle FEK$ , άρα KF=KE

.

Συνεπώς, η

είναι μεσοκάθετος της

, οπότε και $KL \perp FE$ .

Καθετότητα σε κύκλο

Καθετότητα σε κύκλο

Re: Καθετότητα σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση