Αξιοσημείωτη σταθερότητα

#1

: Αξιοσημείωτη σταθερότητα.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 1476 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και

τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν $A\widehat MC = \omega,B\widehat MD = \theta,$

α) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle {\tan ^2}\omega + {\tan ^2}\theta$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη όχι μόνο από τη θέση του σημείου

πάνω στον κύκλο, αλλά και από την πλευρά του τετραγώνου.

β) Να βρείτε τη θέση του

που ελαχιστοποιεί το άθροισμα $\displaystyle \tan \omega + \tan \theta$ και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή.

#2

Σε σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το κέντρο του τετραγώνου και άξονες παράλληλους στις πλευρές του, ας είναι M(x,y)

.

Θα βρούμε $tan\omega =\dfrac{2}{\rho }(y-x),\,\,tan\vartheta =-\dfrac{2}{\rho }(x+y)$ με $tan^2\omega+tan^2\vartheta =8,\,\,!!!$

Πολύ καλό!!!

κ.λπ. μέγιστο, προφανώς, για $x=-\rho$ το

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιουν 06, 2020 4:27 pm Αξιοσημείωτη σταθερότητα.png
Δίνεται τετράγωνο και τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν $A\widehat MC = \omega,B\widehat MD = \theta,$

α) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle {\tan ^2}\omega + {\tan ^2}\theta$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη όχι μόνο από τη θέση του σημείου

πάνω στον κύκλο, αλλά και από την πλευρά του τετραγώνου.

β) Να βρείτε τη θέση του που ελαχιστοποιεί το άθροισμα $\displaystyle \tan \omega + \tan \theta$ και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή.

Καλημέρα!

α) Έστω $\rm O$ το κέντρο του τετραγώνου.Όταν $\rm M$ μέσο του $\rm BC$ εύκολα προκύπτει ότι το άθροισμα είναι

,οπότε θα δείξουμε πως $\displaystyle {\rm \tan ^2}\omega + {\tan ^2}\theta=8$ .Έστω $\rm a$ η πλευρά του τετραγώνου.
Είναι $\rm \displaystyle {\tan ^2}\omega + {\tan ^2}\theta=\dfrac{1-\cos^2\omega}{\cos^2\omega}+\dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}-2$ οπότε αρκεί $\rm \dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}=10$ .Όμως στο $\rm AMC$ θα είναι $\rm \dfrac{1}{\cos \omega }=\dfrac{2AM\cdot MC}{AM^2+MC^2-AC^2}$ .Όμως από το θεώρημα διαμέσων είναι $\rm \dfrac{2(AM^2+MC^2)-AC^2}{4}=MO^2=\dfrac{a^2}{4}\Leftrightarrow MA^2+MC^2=\dfrac{3}{2}a^2$
άρα $\rm \dfrac{1}{\cos \omega }=\dfrac{4AM\cdot MC}{-a^2}$ .Ομοίως και για την άλλη γωνία οπότε
$\rm \dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}=\dfrac{16AM^2MC^2+16BM^2MD^2}{a^4}$ και αρκεί $\rm 8AM^2MC^2+8BM^2DM^2=5a^4 \Leftrightarrow 4[(AM^2+MC^2)^2-AM^4-CM^4)+4[(BM^2+DM^2)^2-BM^4-...-DM^4]=5a^4$ η οποία επειδή $\rm AM^2+MC^2=BM^2+DM^2=\dfrac{3}{2}a^2$ οδηγεί στη $\rm MA^4+MB^4+MC^4+MD^4=\dfrac{13}{4}a^4$

Για να δείξω την τελευταία χρησιμοποιώ διανύσματα, $\rm MA^4=(\overrightarrow{\rm MA})^4=\left ( \overrightarrow{\rm MO}+\overrightarrow{\rm OA} \right )^4=(MO^2+OA^2+2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA})^2=\left ( \dfrac{3}{4}a^2+2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=$
$\rm =\dfrac{9}{16}a^4+3a^2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA}+4\left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2$ .
Άρα έχουμε
$\rm \sum MA^2=4\cdot \dfrac{9}{16}a^4+3a^2\overrightarrow{\rm MO}\sum \overrightarrow{\rm OA}+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{9}{4}a^4+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2$
Για να είναι $\rm \dfrac{9}{4}a^4+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{13}{4}a^4$ αρκεί $\rm \sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{a^4}{4}$
Επειδή $\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OD},\overrightarrow{\rm OA}=-\overrightarrow{\rm OC}$ γαι να ισχύει το τελευταίο αρκεί
$\rm \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OC} \right )^2+\left ( \overrightarrow{\rm MO} \overrightarrow{\rm OD}\right )^2=\dfrac{a^4}{8}\Leftrightarrow MO^2OC^2\cos^2\angle MOC+MO^2OD^2\cos^2\angle MOD=\dfrac{a^2}{8}\Leftrightarrow ....cos^2\angle MOC+\sin^2 \angle MOC=1$
που ισχύει.
β) $(\tan\omega +\tan\vartheta )^2\leq 2(\tan^2\omega+\tan^2\vartheta )=16\Leftrightarrow \left | \tan \omega +\tan \vartheta \right |\leq 4$ άρα ελάχιστη τιμή το

όταν ίσες οι γωνίες.(σε κάθε περίπτωση είναι αμβλύες)Αυτό συμβαίνει όταν το $\rm M$ είναι μέσο κάποιας πλευράς.

#4

Αλλιώς για το α). Έστω E, H

οι προβολές του

στις

και

η πλευρά του τετραγώνου,

οπότε $OM=a, AC=BD=2a\sqrt 2.$ Εφαρμόζω τα δύο θεωρήματα διαμέσων στο MBD:

: Αξιοσημείωτη σταθερότητα.β.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} M{B^2} + M{D^2} = 6{a^2}\\ M{D^2} - M{B^2} = 4a(OH)\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M{B^2} = 3{a^2} - 2a(OH)\sqrt 2 \\ M{D^2} = 3{a^2} + 2a(OH)\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow$

$\boxed{M{B^2}M{D^2} = 9{a^4} - 8{a^2}O{H^2}}$

Αλλά, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{6{a^2} - 8{a^2}}}{{2MD \cdot MB}} \Rightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{{{a^4}}}{{9{a^4} - 8{a^2}O{H^2}}} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta = \frac{{8{a^2} - 8O{H^2}}}{{{a^2}}}$

Ομοίως βρίσκω, $\displaystyle {\tan ^2}\omega = \frac{{8{a^2} - 8O{E^2}}}{{{a^2}}},$ άρα $\displaystyle {\tan ^2}\theta + {\tan ^2}\omega = \frac{{16{a^2} - 8(O{E^2} + O{H^2})}}{{{a^2}}} = \frac{{16{a^2} - 8{a^2}}}{{{a^2}}} = 8$

Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση