Μέγιστο τετράγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 30, 2020 12:14 pm

Μέγιστο  τετράγωνο.png
Μέγιστο τετράγωνο.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Οι ίσες πλευρές AB, AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC έχουν σταθερό μήκος b , αντίθετα με την βάση BC

η οποία μεταβάλλεται . "Εγγράφουμε" το τετράγωνο PQST , με P,Q στην BC και T,S στις AB , AC

αντίστοιχα . Για ποιο μήκος της BC μεγιστοποιείται το (PQST) και πόσο είναι το μέγιστο αυτό εμβαδόν ;

Πρόκειται για ιδιαίτερα στριφνό θέμα και φυσικά επιτρέπεται η χρήση λογισμικού :oops:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 30, 2020 8:43 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 12:14 pm
Μέγιστο τετράγωνο.pngΟι ίσες πλευρές AB, AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC έχουν σταθερό μήκος b , αντίθετα με την βάση BC

η οποία μεταβάλλεται . "Εγγράφουμε" το τετράγωνο PQST , με P,Q στην BC και T,S στις AB , AC

αντίστοιχα . Για ποιο μήκος της BC μεγιστοποιείται το (PQST) και πόσο είναι το μέγιστο αυτό εμβαδόν ;

Πρόκειται για ιδιαίτερα στριφνό θέμα και φυσικά επιτρέπεται η χρήση λογισμικού :oops:
Έστω x η πλευρά του τετραγώνου και AM το ύψος του ισοσκελούς.
Μέγιστο τετράγωνο.png
Μέγιστο τετράγωνο.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
\displaystyle \frac{{TP}}{{BP}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} = \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2a}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2a + \sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}} Το εμβαδόν του τετραγώνου

μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται η πλευρά του. Αναζητούμε λοιπόν την τιμή του a για την οποία παρουσιάζει

μέγιστο η συνάρτηση \displaystyle f(a) = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2a + \sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.

\displaystyle f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2{a^3} + {a^2}\sqrt {4{b^2} - {a^2}}  - 4{b^2}\sqrt {4{b^2} - {a^2}}  = 0 \Leftrightarrow \boxed{ a = 2b\sqrt {\frac{1}{5}\left( {1 + 2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4}} \right)}\simeq 1,24336b}

και αντικαθιστώντας \boxed{{(PQST)_{\max }} = {x^2} \simeq 0,23092{b^2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4646
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιούλ 01, 2020 7:30 pm

Καλησπέρα σε όλους. Καλό μήνα να έχουμε!

Η αρχική μου προσέγγιση ήταν αυτή του Γιώργου, αλλά αφού την ανάρτησε ο Γιώργος αναζήτησα κάτι άλλο.


30-06-2020 Γεωμετρία.jpg
30-06-2020 Γεωμετρία.jpg (29.51 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Έστω BC = a και d η πλευρά του τετραγώνου.

Αν  \displaystyle \widehat B = \widehat C = \varphi , τότε  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{\upsilon }{b} \Leftrightarrow \upsilon  = b \cdot \eta \mu \varphi και  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow a = 2b \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi , με  \displaystyle 0 < \varphi  < \frac{\pi }{2}

Από την ομοιότητα των ATS, ABC είναι  \displaystyle \frac{d}{a} = \frac{{\upsilon  - d}}{\upsilon } , όπου  \displaystyle \upsilon το ύψος του ABC, oπότε  \displaystyle d = \frac{{a\upsilon }}{{a + \upsilon }} = \frac{{2{b^2}\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{2b\sigma \upsilon \nu \varphi  + b\eta \mu \varphi }} = \frac{{\eta \mu 2\varphi }}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi  + \eta \mu \varphi }} \cdot b .

Αν υπάρχει τιμή του a για την οποία το d παίρνει τη μέγιστη τιμή του, τότε το  \displaystyle \frac{1}{d} = \frac{1}{{\eta \mu \varphi }} + \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi }} θα παίρνει την ελάχιστη τιμή του, (αφού δεν είναι μηδέν η μέγιστη τιμή του d).

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \frac{1}{{\eta \mu x}} + \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu x}},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) έχει παράγωγο

 \displaystyle f'\left( x \right) =  - \frac{{\sigma \upsilon \nu x}}{{\eta {\mu ^2}x}} + \frac{{\eta \mu x}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} = \frac{{\eta {\mu ^3}x - 2\sigma \upsilon {\nu ^3}x}}{{2\eta {\mu ^2}x \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}x}}

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x = \sqrt[3]{2}

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) < 0\;\;\forall x \in \left( {0,\;{x_0}} \right),\;\;f'\left( x \right) > 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0},\;\frac{\pi }{2}} \right) , όπου  \displaystyle {x_0} = \tau o\xi \varepsilon \varphi \sqrt[3]{2} \cong 51,56^\circ , άρα η f έχει ελάχιστο, οπότε για αυτήν την τιμή το d έχει μέγιστο.

Η τιμή που δίνει το κομπιουτεράκι των Windows είναι  \displaystyle {d_{\max }} = 1,2433 \cdot b και το μέγιστο εμβαδόν είναι  \displaystyle {\left( {{d_{\max }}} \right)^2} .

Αφού έχω ίδια προσέγγιση με τον Γιώργο, φαντάζομαι, όλα θα είναι καλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης