Τετραγωνικά φαινόμενα

KARKAR · #1

: Τετραγωνικά φαινόμενα.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Στο εσωτερικό του σταθερής πλευράς

, τετραγώνου ABCD

, σχεδιάζουμε το μεταβλητής πλευράς

,

τετράγωνο AEZH

. Η

προεκτεινόμενη , τέμνει την

στο

ενώ η

τέμνει την

στο

.

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{AT}{DZ}$ , καθώς και την $\tan\widehat{DSA}$ , την στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 06, 2020 10:42 am
Τετραγωνικά φαινόμενα.pngΣτο εσωτερικό του σταθερής πλευράς , τετραγώνου , σχεδιάζουμε το μεταβλητής πλευράς ,

τετράγωνο . Η προεκτεινόμενη , τέμνει την στο ενώ η τέμνει την στο .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{AT}{DZ}$ , καθώς και την $\tan\widehat{DSA}$ , την στιγμή της μεγιστοποίησης .

: Τετραγωνικά φαινόμενα.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Η συνάρτηση $\displaystyle f(b) = {\left( {\frac{{AT}}{{DZ}}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {{(a - b)}^2}}}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'(b) = \frac{{2a( - {b^2} - ab + {a^2})}}{{{{(2{b^2} - 2ab + {a^2})}^2}}}$

και παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{b = \frac{{a(\sqrt 5 - 1)}}{2} = \frac{a}{\Phi }}$ Η μέγιστη αυτή τιμή είναι:

$\displaystyle f\left( {\frac{a}{\Phi }} \right) = \frac{{{a^2}\left( {1 + \frac{1}{{{\Phi ^2}}}} \right)}}{{{a^2}\left( {\frac{1}{{{\Phi ^2}}} + \frac{{{{(\Phi - 1)}^2}}}{{{\Phi ^2}}}} \right)}} = \frac{{{\Phi ^2} + 1}}{{{\Phi ^2} - 2\Phi + 2}} = \frac{{\Phi + 2}}{{3 - \Phi }} = {\Phi ^2} \Rightarrow$ $\boxed{ {\left( {\frac{{AT}}{{DZ}}} \right)_{\max }} = \Phi }$

$\displaystyle \frac{{PT}}{{AP}} = \frac{{a - b}}{b} \Leftrightarrow \frac{{AT}}{{AP}} = \frac{a}{b} = \Phi \Leftrightarrow AP = DZ \Leftrightarrow$ $\boxed{SZ = SP \Leftrightarrow \theta = 2\omega}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = \frac{{2\frac{b}{a}}}{{1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}} = \frac{{2\Phi }}{{{\Phi ^2} - 1}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = 2}$

Τετραγωνικά φαινόμενα

Τετραγωνικά φαινόμενα

Re: Τετραγωνικά φαινόμενα

Μέλη σε σύνδεση