Μέσο τμήματος

#1

: Μέσο τμήματος.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 1156 φορές

Σε τυχαίο σημείο

, ημικυκλίου διαμέτρου

, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο

επί την

στο

.

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Φέρνω και την κάθετη από το

στην

και τέμνει την

στο

.

Δείξτε ότι το

είναι μέσο του

Δεκτή κάθε λύση.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 24, 2020 1:54 pm
Μέσο τμήματος.png

Σε τυχαίο σημείο , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο επί την στο .

Ας είναι η προβολή του στην . Φέρνω και την κάθετη από το στην και τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το είναι μέσο του

Δεκτή κάθε λύση.

: Μέσο τμήματος.Φ.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 1149 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Έστω

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των SD, AT.

Προφανώς

είναι το ορθόκεντρο του

τριγώνου SAM.

Αν

είναι το μέσο του SD,

τότε και το

θα είναι μέσο του DB.

Σύμφωνα λοιπόν με αυτήν (#4)

αρκεί να δείξω ότι $\boxed{\tan \omega \tan \theta = 2}$

: Μέσο τμήματος.ΝΦ.png (19.8 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

$\displaystyle \tan \omega \tan \theta = \tan (D\widehat SB)\tan (A\widehat TB) = \frac{{BD}}{{SD}} \cdot \frac{{AB}}{{TB}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \omega \tan \theta = \frac{{S{B^2}}}{{SD \cdot TB}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \tan \omega = \tan (T\widehat BP) \Leftrightarrow \frac{{SB}}{{SA}} = \frac{{2TP}}{{SB}} \Leftrightarrow$ $\boxed{S{B^2} = 2TP \cdot SA}$ (2)

και από τα όμοια τρίγωνα

SAD, TBP,

$\displaystyle \frac{{SD}}{{TP}} = \frac{{SA}}{{TB}} \Leftrightarrow TP \cdot SA = SD \cdot TB\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2)}$ $\boxed{\tan \omega \tan \theta = 2}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 24, 2020 1:54 pm
Μέσο τμήματος.png

Σε τυχαίο σημείο , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο επί την στο .

Ας είναι η προβολή του στην . Φέρνω και την κάθετη από το στην και τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το είναι μέσο του

Δεκτή κάθε λύση.

Η $\rm AT$ είναι συμμετροδιάμεσος στο $\rm ASB$ άρα αν $\rm Ax$ η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο $\rm A$ θα είναι $\rm A(x,S,T,B)=-1$ .Έστω $\rm Sy$ η παράλληλη από το $\rm S$ στην $\rm AB$ .
Παρατηρούμε ότι $\rm Sy\perp Ax,SM\perp AT,SD\perp AB,SB\perp A$ οπότε από γνωστή πρόταση $\rm S(D,M,B,y)=-1$ και αφού $\rm Sy\parallel DB$ το ζητούμενο έπεται.

#5

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 24, 2020 1:54 pm
Μέσο τμήματος.png

Σε τυχαίο σημείο , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο επί την στο .

Ας είναι η προβολή του στην . Φέρνω και την κάθετη από το στην και τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το είναι μέσο του

Δεκτή κάθε λύση.

: Μέσο τμήματος.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Αν

το μέσο της

τότε θα είναι: $\angle MSB\overset{\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma }{\mathop{=}}\,\angle SAT\overset{AT\,\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho o\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle SAB}{\mathop{=}}\,\angle NAB$ .
Έτσι στα προφανώς όμοια τρίγωνα $\vartriangle SAB,\vartriangle DSB$ τα τμήματα AN,SM

είναι ομόλογα και με

διάμεσο του $\vartriangle SAB\Rightarrow SM$ διάμεσος του $\vartriangle DSB$ και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί.

p_gianno · #6

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 24, 2020 1:54 pm
Μέσο τμήματος.png

Σε τυχαίο σημείο , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο επί την στο .

Ας είναι η προβολή του στην . Φέρνω και την κάθετη από το στην και τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το είναι μέσο του

Δεκτή κάθε λύση.

: από το μέσον.png (51.85 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

$TS=TB \rightarrow \angle B_1=\angle S_3$ (1)

$\angle S_{12}=\angle B_1$ (εντός εναλλάξ) (2)

Από (1) και (2) έχουμε

διχοτόμος της $\angle S_{123}$ .

εξωτερική διχοτόμος της $\angle S_{123}$ συνεπώς η δέσμη (S.SZ,ST,SA,SI)

είναι αρμονική

Άρα και η δέσμη (B.BZ,BT,BA,BI)

είναι αρμονική και επειδή SD||BT

έχουμε

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ZDMK, SKDA

και θεώρημα χορδής – εφαπτομένης έχουμε για τις γωνίες

M_1=D_1=S_2

συνεπώς

εκ του μέσου

της

άρα

μέσον της

Ανδρέας Πούλος · #7

Επειδή είναι δεκτές και λύσεις με Αναλυτική Γεωμετρία,
διαπιστώνουμε ότι με στοιχειώδη Α.Γ. της Β Λυκείου το θέμα λύνεται χωρίς μεγάλο αριθμό πράξεων.
Τυπική περίπτωση που η Αναλυτική Γεωμετρία δίνει για το συγκεκριμένο πρόβλημα μια σύντομη απάντηση
χωρίς να απαιτούνται πολύπλοκες αλγεβρικές πράξεις.
Ορίζουμε A(1, 0)

και όλα τα άλλα σημεία εκφράζονται με τη βοήθεια της μεταβλητής

.

#8

Εντυπωσιάζει η ... μη απλότητα!

Νομίζω είναι καλή - και γνωστή- άσκηση Α Λυκείου, ότι η ΑΤ διέρχεται από το μέσο , έστω Κ, της SD, και, ομοίως είναι καλή άσκηση για την ίδια τάξη η παραλληλία των KM, SB, που ξεκλειδώνουν το πρόβλημα.

Θεωρώ αιτία της μη απλότητας την κατ' έξιν ... Geogebra.

Εδώ ταιριάζουν οι ενστάσεις του βασιλιά στον μύθο του Θευθ, αν στην θέση του αλφαβήτου βάλουμε την Geogebra. (Προσωπικές απόψεις

)

S.E.Louridas · #9

Καλημέρα στην άριστη παρέα.
Ας δούμε και την άποψη:

Αν

η τομή των AS, BT

, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα DBS, ABL

είναι όμοια με κάθετες τις υποτείνουσες τους. Αν

το μέσον του

και επειδή

είναι το μέσο του ομόλογου του

, τότε (από την καθετότητα των υποτεινουσών που αναφέραμε), $SM \bot AT.$ Λόγω του μονοσήμαντου της καθέτου από σημείο σε ευθεία, η απόδειξη είναι ήδη ολοκληρωμένη.

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλό μεσημέρι σε όλους! Με χρήση του σχήματος

: 30-7 μέσο τμήματος.png (149.84 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Όπως είδαμε το

είναι το ορθόκεντρο του SAM

άρα $HM \parallel BS$ , αφού $HM,BS \perp AS$ .Αρκεί το

να είναι το μέσον του

Οι

τέμνονται στο

. Όπως και ΕΔΩ τα Z,D

είναι συζυγή αρμονικά των A,B

. Με

παίρνουμε

$\dfrac{ZA}{ZB}=\dfrac{DA}{DB}\Rightarrow \dfrac{OZ-R}{OZ+R}=\dfrac{R-OD}{R+OD}\Rightarrow OZ\cdot OD=R^{2}$

Η ομοιότητα των τριγώνων BAT,DAH

δίνει $\dfrac{HD}{BT}=\dfrac{AD}{AB}$ και των BZT,DZS

δίνει $\dfrac{DS}{BT}=\dfrac{ZD}{ZB}$ .

Θέλουμε $DH=HS \Leftrightarrow DS=2DH$ αρκεί λοιπόν να δείξουμε την $\dfrac{ZD}{ZB}=\dfrac{2AD}{AB} ..(1)$ .

Θεωρώντας κι' εδώ σημείο αναφοράς το

έχουμε $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \dfrac{OZ-OD}{OZ+R}=\dfrac{2\left ( R-OD \right )}{2R}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow OZ\cdot OD=R^{2}$ που ισχύει!

Τελικά

είναι το μέσον του

και

το μέσον του

. Φιλικά, Γιώργος.

Μέσο τμήματος

Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Μέλη σε σύνδεση