Το ελάχιστο της διαμέσου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Το ελάχιστο της διαμέσου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Αύγ 17, 2020 11:20 pm

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle AEZ ισχύει \displaystyle E\le {{45}^{0}} και \displaystyle AB=h= σταθερό .
Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο \displaystyle HZ=\mu , ισχύει \displaystyle \mu \ge \frac{3h}{2}
ελάχιστο.png
ελάχιστο.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές
Υ.Γ. Έχω μια λύση - όχι δική μου - που δεν μου αρέσει


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3369
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 18, 2020 12:18 am

exdx έγραψε:
Δευ Αύγ 17, 2020 11:20 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle AEZ ισχύει \displaystyle E\le {{45}^{0}} και \displaystyle AB=h= σταθερό .
Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο \displaystyle HZ=\mu , ισχύει \displaystyle \mu \ge \frac{3h}{2}

ελάχιστο.png

Υ.Γ. Έχω μια λύση - όχι δική μου - που δεν μου αρέσει
Θέτουμε \angle E= \phi ,AE=b
Είναι h=b\sin \phi
και \mu ^{2}=\frac{b^2}{4}+b^{2}(\tan \phi )^{2}
Η σχέση \displaystyle \mu \ge \frac{3h}{2}
είναι ισοδύναμη με την
\displaystyle1+4(\tan \phi )^{2}\geq 9(\sin \phi )^2
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα
\displaystyle (\sin \phi )^{2}=\frac{(\tan \phi)^{2}}{1+(\tan \phi)^{2}}
καταλήγει στην
\displaystyle 1+4(\tan \phi)^{4}\geq 4(\tan \phi)^{2}
που προφανώς ισχύει για κάθε οξεία γωνία.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 18, 2020 1:41 am

ελάχιστο της διαμέσου.png
ελάχιστο της διαμέσου.png (6.87 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Θέτω AE = x\,\,\,,\,\,x \geqslant h\sqrt 2 κι έχω: E{B^2} = {x^2} - {h^2}

αλλά E{A^2} = EB \cdot EZ \Rightarrow {x^4} = E{B^2} \cdot E{Z^2}.

Οπότε : E{Z^2} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2} - {h^2}}}\,\,\left( 1 \right) .

Επειδή από το Π. Θ. στο \vartriangle AHZ , {m^2} = \dfrac{{{x^2}}}{4} + A{Z^2} = \dfrac{{{x^2}}}{4} + E{Z^2} - A{E^2} προκύπτει

\boxed{{m^2} = f(x) = \frac{{{h^4}}}{{{x^2} - {h^2}}} + \frac{{{x^2}}}{4} + {h^2}} με παράγωγο \boxed{f'(x) = \frac{x}{2} - \frac{{2{h^4}x}}{{{{\left( {{x^2} - {h^2}} \right)}^2}}}}

Η παράγωγος μηδενίζεται αν x =  - h\sqrt 3 \,\,,\,\,x = 0\,\,,\,\,x = h\sqrt 3

και η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = h\sqrt 3 .

Ελάχιστη τιμή της διαμέσου είναι: \boxed{{m_{\min }} = \sqrt {f(h\sqrt 3 )}  = \frac{{3h}}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 18, 2020 8:58 am

Ιδιότητες του τριγώνου για την περίπτωση που m=\dfrac{3h}{2}.
Ελάχιστο της διαμέσου.png
Ελάχιστο της διαμέσου.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές
Έστω D η προβολή του A στην HZ. Τότε:

1) \displaystyle \frac{{AE}}{{AZ}} = \sqrt 2 ......... 2) DB||AZ .............. 3) D είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου AEZ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 18, 2020 10:29 am

exdx έγραψε:
Δευ Αύγ 17, 2020 11:20 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle AEZ ισχύει \displaystyle E\le {{45}^{0}} και \displaystyle AB=h= σταθερό .
Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο \displaystyle HZ=\mu , ισχύει \displaystyle \mu \ge \frac{3h}{2}

ελάχιστο.png

Υ.Γ. Έχω μια λύση - όχι δική μου - που δεν μου αρέσει
Κατασκευή .
Eλάχιστο της διαμέσου_κατασκευή.png
Eλάχιστο της διαμέσου_κατασκευή.png (15.3 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Θεωρώ ημικύκλιο διαμέτρου \overline {DAC} και ακτίνας h( σταθερή).

Η μεσοκάθετος στην ακτίνα AD τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο M.

Η μεσοκάθετος της διαμέτρου DC τέμνει την ευθεία DM στο σημείο E.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου από το E τέμνει την ευθεία της διαμέτρου στο σημείο Z.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5619
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Αύγ 18, 2020 4:53 pm

Για την πανέμορφη παρέα και μόνο για λόγους πλουραλισμού.
;ευθ.png
;ευθ.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές


(*) Με κάθε επιφύλαξη καθότι δεν χρησιμοποίησα τον περιορισμό για την \angle E.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 18, 2020 6:16 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 4:53 pm
Για την πανέμορφη παρέα και μόνο για λόγους πλουραλισμού.;ευθ.png



(*) Με κάθε επιφύλαξη καθότι δεν χρησιμοποίησα τον περιορισμό για την \angle E.
Πολύ καλό :clap2:


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Αύγ 18, 2020 6:39 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες λύσεις .

S.E.Louridas έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 4:53 pm

(*) Με κάθε επιφύλαξη καθότι δεν χρησιμοποίησα τον περιορισμό για την \angle E.
Η αρχική εκφώνηση ήταν :
Το μήκος του ύψους προς την υποτείνουσα είναι h . Προσδιορίστε το μικρότερο μήκος της διαμέσου προς τη μεγαλύτερη κάθετη πλευρά .
΄Εβαλα την ανισότητα για να εξασφαλίσω τη μεγαλύτερη κάθετη .Απ΄ότι βλέπω δεν χρειάζεται .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 19, 2020 10:16 am

Μία ακόμα.
Το ελάχιστο της διαμέσου.png
Το ελάχιστο της διαμέσου.png (9.68 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές
Έστω N η προβολή του H στην EZ και EB=x. Τότε, \displaystyle HN = \frac{h}{2} και \displaystyle BN = \frac{x}{2}. Είναι:

\displaystyle BZ = \frac{{{h^2}}}{x} και \displaystyle {m^2} = H{N^2} + N{Z^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + {\left( {\frac{{{h^2}}}{x} + \frac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{h^2}}}{x} - \frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3h}}{2}} \right)^2} \ge {\left( {\frac{{3h}}{2}} \right)^2}

Άρα, \boxed{m \ge \frac{{3h}}{2}} Η ισότητα ισχύει για \boxed{x = h\sqrt 2 }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Αύγ 19, 2020 4:57 pm

exdx έγραψε:
Δευ Αύγ 17, 2020 11:20 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle AEZ ισχύει \displaystyle E\le {{45}^{0}} και \displaystyle AB=h= σταθερό .
Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο \displaystyle HZ=\mu , ισχύει \displaystyle \mu \ge \frac{3h}{2}

ελάχιστο.png

Υ.Γ. Έχω μια λύση - όχι δική μου - που δεν μου αρέσει

Αν το ημικύκλιο διαμέτρου AB κόψει τη διάμεσο AM στο N,λόγω ισότητας των

γωνιών MAB,MBA,το NZBA είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα BN=h

Από το ορθογώνιο τρίγωνο NGB προφανώς GB \geq NB \Rightarrow  \dfrac{2}{3}  \mu  \geq h \Leftrightarrow  \mu   \geq  \dfrac{3}{2}h

Το ίσον ισχύει όταν G \equiv N αλλά τότε ZB=NA= \dfrac{2}{3} \dfrac{a}{2}= \dfrac{a}{3} και

h^2=EZ . ZB= \dfrac{2a}{3} .  \dfrac{a}{3}   \Rightarrow a=EB= \dfrac{3h}{ \sqrt{2} }
Το ελάχιστο της διαμέσου.png
Το ελάχιστο της διαμέσου.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης