Δισορθογώνιος χαρταετός

KARKAR · #1

: Δισορθογώνιος χαρταετός.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

είναι δισορθογώνιος χαρταετός , του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο

.

Σημείο

κινείται επί της

. Η

προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

, ενώ

η

προεκτεινόμενη , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Δείξτε ότι : $PD \parallel BS$ .

dimpaplo · #2

$\widehat{AOB} = \widehat{ATB} = 90°$ οπότε AOBT

εγγράψιμο και άρα παίρνουμε τις ισότητες γωνιών : $\widehat {COS} = \widehat {AOT} = \widehat {ABT} = 90°- \widehat {BAP} = \widehat {APB} = x$
Έτσι έχουμε ότι $\frac{SD}{SC} = \frac{OD}{OC} \frac{sin{\widehat {SOD}}} {sin{\widehat{SOC}}} = \frac{OD}{OC} \frac{sin(90°-x)}{sinx} = \frac{OD}{OC} \frac{cosx}{sinx} = \frac{OB}{OC} cotx = tan{\widehat {ACB}} cotx = \frac{AB}{BC} \frac {PB}{AB} = \frac{BP}{BC}$ από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 31, 2020 8:31 pm Δισορθογώνιος χαρταετός.pngΤο τετράπλευρο είναι δισορθογώνιος χαρταετός , του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο .

Σημείο κινείται επί της . Η προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στο , ενώ

η προεκτεινόμενη , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Δείξτε ότι : $PD \parallel BS$ .

$\displaystyle T\widehat AB = T\widehat OB \Leftrightarrow 90^\circ - T\widehat AB = 90^\circ - T\widehat OB \Leftrightarrow A\widehat PB = A\widehat OT = S\widehat OC$

κι επειδή $\displaystyle B\widehat CO = S\widehat CO,$ τα τρίγωνα COS, CPA

θα είναι όμοια. Άρα:

: Δισορθογώνιος χαρταετός.png (24.66 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

$\displaystyle CP \cdot CS = CO \cdot CA = C{B^2} = CB \cdot CD \Leftrightarrow \frac{{CS}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CP}} \Leftrightarrow$ $\boxed{PD||BS}$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 31, 2020 8:31 pm Δισορθογώνιος χαρταετός.pngΤο τετράπλευρο είναι δισορθογώνιος χαρταετός , του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο .

Σημείο κινείται επί της . Η προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στο , ενώ

η προεκτεινόμενη , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Δείξτε ότι : $PD \parallel BS$ .

Θέτω: $DS = x\,,\,SC = y\,,\,PB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = m\,\,$

Επειδή : $\widehat {ACB} = \widehat {OBA}$ ( οξείες με κάθετες πλευρές) και $\widehat {OTA} = \widehat {OBA}$ ( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) , θα είναι

: Δισορθογώνιος_χαρταετός.png (39.98 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {OBD} = \widehat {{a_3}}$ . Άμεση συνέπεια: $\,\vartriangle ATO \approx \vartriangle SCO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BTO \approx \vartriangle SDO$ , οπότε

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{SC}}{{AT}} = \frac{{OC}}{{OT}} \hfill \\ \frac{{SD}}{{TB}} = \frac{{OD}}{{OT}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{TB}}{{TA}} \cdot \dfrac{{OD}}{{OC}} = \dfrac{k}{{AB}} \cdot \dfrac{{AB}}{m} = \dfrac{k}{m}$ , τώρα το ζητούμενο προφανές.

Δισορθογώνιος χαρταετός

Δισορθογώνιος χαρταετός

Re: Δισορθογώνιος χαρταετός

Re: Δισορθογώνιος χαρταετός

Re: Δισορθογώνιος χαρταετός

Μέλη σε σύνδεση