Μέγιστο γινόμενο 7

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12167
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο 7

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 02, 2020 10:43 am

Μέγιστο  γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Σημείο S κινείται στη διάμετρο AB=d , ημικυκλίου . Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλιο διαμέτρου AS ,

προς το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη BT , η οποία προεκτεινόμενη τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο σημείο P .

Έστω ακόμη , Q , η προβολή του T στην AS .

α) Συγκρίνατε τα τμήματα TP , TQ . ...β) Υπολογίστε ( με όποιον τρόπο ) το μέγιστο του γινομένου : BT\cdot TP



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 02, 2020 2:42 pm

Για το πρώτο

Έχω εσωτερική επαφή δύο κύκλων άρα η AT διχοτομεί την \widehat {BAP} οπότε TQ = TP.

Το δεύτερο μετά το μεσημεριανό ύπνο αλλά θα έχει απαντηθεί μέχρι τότε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10032
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 02, 2020 4:38 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 02, 2020 10:43 am
Μέγιστο γινόμενο.pngΣημείο S κινείται στη διάμετρο AB=d , ημικυκλίου . Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλιο διαμέτρου AS ,

προς το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη BT , η οποία προεκτεινόμενη τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο σημείο P .

Έστω ακόμη , Q , η προβολή του T στην AS .

α) Συγκρίνατε τα τμήματα TP , TQ . ...β) Υπολογίστε ( με όποιον τρόπο ) το μέγιστο του γινομένου : BT\cdot TP
Για το β) Έστω K το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου AS=2r και BS=x. Είναι TP=TQ και AP=AQ.
Μέγιστο γινόμενο 7.png
Μέγιστο γινόμενο 7.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
\displaystyle \frac{{KT}}{{AP}} = \frac{{BK}}{{BA}} \Leftrightarrow \frac{r}{{AQ}} = \frac{{x + r}}{d} \Leftrightarrow AQ = \frac{{dr}}{{x + r}}. Αλλά, \displaystyle r = \frac{{d - x}}{2}, οπότε \displaystyle AQ = \frac{{d(d - x)}}{{x + d}}

\displaystyle BT \cdot TP = BT \cdot TQ = \sqrt {xd} \sqrt {AQ(2r - AQ)}  \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \boxed{BT \cdot TP = \frac{{{d^2}x - d{x^2}}}{{x + d}}}, όπου με

παραγώγους βρίσκω ότι παρουσιάζει για \boxed{  x = d(\sqrt 2  - 1)} μέγιστο ίσο με \boxed{ {(BT \cdot TP)_{\max }} = {d^2}(3 - 2\sqrt 2 )}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 02, 2020 8:07 pm

α)

Έχω εσωτερική επαφή δύο κύκλων άρα η AT διχοτομεί την \widehat {BAP} οπότε TQ = TP.

β)

Θέτω : TQ = TP = m\,\,,\,\,TB = n\,\,,\,AQ = AP = u\,\,,\,\,SQ = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = x\,\,

Επειδή η TS είναι διχοτόμος της \widehat {QTB} η τετράδα : \left( {Q,B\backslash A,S} \right) είναι αρμονική.

Από την αρμονική αναλογία , \dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{AQ}}{{AB}} έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{{x\left( {d - x} \right)}}{{d + x}} \hfill \\ 
  u = \frac{{d\left( {d - x} \right)}}{{d + x}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\left( M \right)
Μέγιστο γινόμενο_7.png
Μέγιστο γινόμενο_7.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

Στο \vartriangle PAB η AT είναι διχοτόμος και άρα:

A{T^2} = AB \cdot AP - TB \cdot TP \Rightarrow A{T^2} = du - mn \Rightarrow mn = du - A{T^2} . Από το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle TAS και τις σχέσεις \left( M \right) έχω:

\boxed{mn = f(x) = \frac{{d\left( {d - x} \right)x}}{{d + x}}} τα υπόλοιπα όπως πιο πάνω από το Γιώργο .

Μια παρατήρηση : όταν έχω μέγιστο στην f , AQ = SB\,\,\left( {x = u} \right)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 03, 2020 3:35 am

Παραλλαγή για το β)

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB = d. Σημείο P διατρέχει το ημικύκλιο . Αν AT η διχοτόμος του \vartriangle PAB

να βρείτε το μέγιστο του γινομένου : TP \cdot TB
Μέγιστο γινόμενο_7_παραλλαγή_1.png
Μέγιστο γινόμενο_7_παραλλαγή_1.png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές


Έστω Q η προβολή του T στην AB και S το σημείο της AB που η παράλληλη από το Tστην PQ, τέμνει αυτή.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και αφού TS//PQ έχω:

\dfrac{x}{n} = \dfrac{k}{m} = \dfrac{m}{u} \Rightarrow mn = ux\,\,\left( 1 \right) . Από την αρμονική αναλογία :

\dfrac{k}{u} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow \dfrac{{k + u}}{u} = \dfrac{{d + x}}{d} \Rightarrow \dfrac{{d - x}}{u} = \dfrac{{d + x}}{d} \Rightarrow \boxed{u = \frac{{d\left( {d - x} \right)}}{{d + x}}} και ή (1) δίδει:

\boxed{f(x) = mn = \frac{{d\left( {d - x} \right)x}}{{d + x}}} κ.λ.π.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης