Σελίδα 1 από 1

Μέγιστο γινόμενο 8

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 13, 2020 8:36 pm
από KARKAR
Μέγιστο  γινόμενο  8.png
Μέγιστο γινόμενο 8.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Σημείο S κινείται στην διάμετρο AB=d , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου AS ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του M , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία M , L .

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : MN \cdot ML

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 13, 2020 9:12 pm
από Γιώργος Ρίζος
Kαλησπέρα σε όλους. Με το σχήμα του Θανάση.


Μέγιστο  γινόμενο  8.png
Μέγιστο γινόμενο 8.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

Εστω x^2+y^2=r^2 η εξίσωση του αρχικού ημικυκλίου, όπου d = 2r και σημείο S(a, 0) με -r< a<r. Τότε  \displaystyle M\left( {\frac{{a - r}}{2},\frac{{a + r}}{2}} \right) .

H ευθεία  \displaystyle y = \frac{{a + r}}{2} τέμνει τον αρχικό κύκλο στα  \displaystyle N\left( { - \frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2},\;\frac{{a + r}}{2}} \right),\;L\left( {\frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2},\;\frac{{a + r}}{2}} \right) ,

οπότε  \displaystyle MN \cdot ML = \left( {\frac{{a - r}}{2} + \frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2} - \frac{{a - r}}{2}} \right) = \frac{{{r^2} - {a^2}}}{2}

με το μέγιστο όταν a=0, δηλαδή όταν το S είναι στο μέσο του AB.

(Και σχολική θα την έλεγα, εκτός αν υπάρχει κάποιο σημείο (παγίδα) που δεν το βλέπω).

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 13, 2020 9:45 pm
από S.E.Louridas
Το σημείο M ανήκει στην σταθερή ημιευθεία Ae με \angle BAe = \frac{\pi }{4}. Έχουμε MN \cdot ML = {R^2} - O{M^2}, άρα ζητάμε το O{M_{\min }}, που επιτυγχάνεται όταν OM \bot Ae, δηλαδή όταν S \equiv O. Ως O θεωρούμε το κέντρο του δοθέντος ημικυκλίου.

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 14, 2020 6:41 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 8:36 pm
Μέγιστο γινόμενο 8.pngΣημείο S κινείται στην διάμετρο AB=d , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου AS ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του M , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία M , L .

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : MN \cdot ML
Έστω O, K τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου και R, x οι ακτίνες τους αντίστοιχα.

Έστω ακόμα P το μέσο του NL. Είναι \displaystyle NP = PL = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .
Μέγιστο γινόμενο.8.png
Μέγιστο γινόμενο.8.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
\displaystyle MN \cdot ML = (NP - MP)(MP + PL) = \left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}}  - (R - x)} \right)\left( {(R - x) + \sqrt {{R^2} - {x^2}} } \right) \Leftrightarrow

\displaystyle MN \cdot ML =  - 2{x^2} + 2Rx + \frac{{{R^2}}}{2} - \frac{{{R^2}}}{2} =  - 2{\left( {x - \frac{R}{2}} \right)^2} + \frac{{{R^2}}}{2} \le \frac{{{R^2}}}{2}. Η ισότητα όταν \displaystyle x = \frac{R}{2}, δηλαδή όταν τα O, S συμπίπτουν.