Τόπος και ελάχιστο

KARKAR · #1

: Τόπος και ελάχιστο.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Σε κύκλο

, θεωρούμε την σταθερή χορδή AD=a<2r

και την μικρότερή της χορδή BC=b

,

η οποία έχει σταθερό μήκος και τα άκρα της κινούνται στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{AD}$ . Οι AC ,BD

τέμνονται στο

.

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

... β) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα.
Απλά αναρτώ το σχήμα (στο οποίο ενυπάρχει ο προσδιορισμός του γ. τόπου που είναι ο κύκλος

) και θα επανέρθω για λεπτομέρειες.

Επανέρχομαι λοιπόν για την Ανάλυση και τον προσδιορισμό του σταθερού κύκλου

επί του οποίου κινείται το σημείο

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο OAK

"ομορρόπως" όμοιο στο τρίγωνο BAS,

το οποίο διατηρεί τις γωνίες του, οπότε το τρίγωνο OAK

ορίζεται πλήρως. Έτσι άμεσα έχουμε ότι και τα τρίγωνα OBA, KSA

είναι όμοια άρα $KS=KA,\;ct.$

: ΚΑΡ.png (79.38 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

edit: Τοποθέτηση της Ανάλυσης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 10:22 am
Τόπος και ελάχιστο.pngΣε κύκλο , θεωρούμε την σταθερή χορδή και την μικρότερή της χορδή ,

η οποία έχει σταθερό μήκος και τα άκρα της κινούνται στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{AD}$ . Οι τέμνονται στο .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου ... β) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Καλημέρα!

: Τ&Ε.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

α) τόξο χορδής AB=a

που δέχεται γωνία $\theta=\dfrac{\overset\frown{AD}+\overset\frown{BC}}{2}$

β) $\displaystyle O{S_{\min }} = \frac{{a\sqrt {4{r^2} - {b^2}} - b\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{{2(a + b)}}$

edit: Άρση απόκρυψης.

#4

Επειδή $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {ACD} + \widehat {CDB}$ (σταθερό) , το

διαγράφει τόξο κύκλου κέντρου

, ακτίνας

, που βλέπει το σταθερό AD = a

υπό γωνία $\widehat {{\theta _{}}}$ ,

Αν

το μέσο του

και

ο βόρειος πόλος του $\left( {K,r} \right)$ θα είναι :

: Τόπος κι ελάχιστο.png (32.6 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

$\left\{ \begin{gathered} OM = \sqrt {{R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \hfill \\ AK = r = \frac{a}{{2\sin \theta }} \hfill \\ KM = r\cos \theta = \frac{{a\cos \theta }}{{2\sin \theta }} \hfill \\ OK = OM - KM = \sqrt {{R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} - \frac{{a\cos \theta }}{{2\sin \theta }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα:

$\boxed{OF = r - OK = \frac{a}{{2\sin \theta }}\left( {1 + \cos \theta } \right) - \sqrt {{R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = O{S_{\min }}}$ , γιατί $OS \geqslant OF$ .

Παρατήρηση : $KS \bot BC$

Τόπος και ελάχιστο

Τόπος και ελάχιστο

Re: Τόπος και ελάχιστο

Re: Τόπος και ελάχιστο

Re: Τόπος και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση