Άθροισμα και ύψος

KARKAR · #1

: Άθροισμα και ύψος.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=10

, σχεδιάσαμε χορδή CD=8

. Εντοπίστε σημείο

του τόξου ,

για το οποίο να προκύπτει : SC+SD=12

. Υπολογίστε και το ύψος

του τριγώνου SCD

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 7:53 pm Άθροισμα και ύψος.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε χορδή . Εντοπίστε σημείο του τόξου ,

για το οποίο να προκύπτει : . Υπολογίστε και το ύψος του τριγώνου .

: Άθροισμα και ύψος_1.png (22.74 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα και ας είναι

η προβολή του

στην

. Θέτω: $\boxed{DF = 4k}$

Επειδή $DC \cdot DS = 2R \cdot DF$ ( Από τον γνωστό τύπο $\beta \gamma = 2R{\upsilon _\alpha }$ ) θα έχω :

$8DS = 10 \cdot 4k \Rightarrow \boxed{DS = 5k}$ δηλαδή το ορθογώνιο τρίγωνο $FSD \to \left( {3k,5k,4k} \right)$ .

Προφανώς $CF + 3k + 5k = 12 \Rightarrow CF = 12 - 8k$ οπότε από το Π. Θ. στο $\vartriangle FDC$

Βρίσκω δεκτή ρίζα: $k = \dfrac{{6 - \sqrt {11} }}{5} \Rightarrow \boxed{DS = 6 - \sqrt {11} }$ και αφού

$CS = 12 - \left( {6 - \sqrt {11} } \right) = 6 + \sqrt {11}$ πάλι από τον ίδιο τύπο έχω:

$SD \cdot SC = 2R \cdot TS \Rightarrow 36 - 11 = 10TS \Rightarrow \boxed{TS = \frac{5}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 7:53 pm Άθροισμα και ύψος.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε χορδή . Εντοπίστε σημείο του τόξου ,

για το οποίο να προκύπτει : . Υπολογίστε και το ύψος του τριγώνου .

Θέτω $\displaystyle DS = x \Leftrightarrow CS = 12 - x$ και $\displaystyle D\widehat SC = \theta \Leftrightarrow C\widehat OD = 2\theta.$

: Άθροισμα και ύψος.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στα τρίγωνα COD, CSD

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \cos 2\theta = - \frac{7}{{25}} = 2{\cos ^2}\theta - 1 \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{3}{5}$

και στη συνέχεια $\displaystyle 64 = {x^2} + {(12 - x)^2} - 2x(12 - x)\frac{3}{5} \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 25 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 6 \pm \sqrt {11}}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Νίκος.

Άθροισμα και ύψος

Άθροισμα και ύψος

Re: Άθροισμα και ύψος

Re: Άθροισμα και ύψος

Μέλη σε σύνδεση