Σταθερό σημείο και γωνία

KARKAR · #1

: Σταθερότητα σημείου και γωνία.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, θεωρούμε σημείο

της

, ώστε

. Σημείο

κινείται

στην

και ας ονομάσουμε

την τομή των AS , BQ

και

την τομή των AB,CT

.

α) Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο , ας το πούμε

.

β) Αν : AD=3 , DC=4

, για ποια θέση του

, είναι : $\widehat{ASP}=45^0$ ;

S.E.Louridas · #2

Η απόκρυψη θα γίνει μετά από επόμενη διαπραγμάτευση:

α) Είναι το αρμονικό συζυγές

του

ως προς τα C, A

από το πλήρες τετράπλευρο BSTP.

β) είναι τομή της

με τόξο που βλέπει τo

με γωνία $135^{\circ }$

edit: Άρση της απόκρυψης μετά την άριστη ανάρτηση του Νίκου.

#3

α) Ας είναι το σημείο τομής των $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Θα δείξω ότι το

είναι το ζητούμενο .
Η ευθεία Pascal

-Πάππου για τις τριάδες των σημείων : $A,T,S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A,Q,C$

διέρχεται από το

και τα σημεία $L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ που τέμνονται τα ζεύγη των ευθειών:

$\left( {TC,SQ} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {TM,SC} \right)$ αντίστοιχα.

: Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_a.png (33.86 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Άμεση συνέπεια : Οι πολικές και του

αλλά και του

ταυτίζονται με την ευθεία $\overline {ALN}$ . ( Κατασκευή πολικής )

Η ευθεία αυτή τέμνει την

στο

και η τετράδα:

$\,\,\left( {A,N\backslash L,G} \right)$ είναι αρμονική οπότε και η τετράδα $\left( {A,C\backslash Q,M} \right)$ είναι αρμονική,

Αν λοιπόν θέσω $CQ = k \Rightarrow AQ = 3k$ κι επειδή :

$\boxed{\frac{{CQ}}{{CM}} = \frac{{AQ}}{{AM}} \Rightarrow \frac{k}{{CM}} = \frac{{3k}}{{4k + CM}}} \Rightarrow \boxed{CM = 2k}$ και άρα το

σταθερό .

β)

: Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_b.png (25 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Επιλέγω : $\boxed{CS = CM = \dfrac{5}{2}}$

$\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DS}}{{SC}} = \dfrac{3}{4}$ και άρα η

διχοτόμος του $\vartriangle ADC$ . $\tan 2\phi = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \tan \phi = \dfrac{1}{3}$

$\tan \theta = \tan \left( {\omega + \phi } \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \Rightarrow \boxed{\theta = 45^\circ }$

Το α ερώτημα πιθανόν να προκύπτει με Θ . Μενελάου και Θ. Ceva

Σταθερό σημείο και γωνία

Σταθερό σημείο και γωνία

Re: Σταθερό σημείο και γωνία

Re: Σταθερό σημείο και γωνία

Μέλη σε σύνδεση