Ρομβοδουλειά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12336
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ρομβοδουλειά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 02, 2021 2:09 pm

Ρομβοδουλειά.png
Ρομβοδουλειά.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Ο ρόμβος ABCD δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά 5 .

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο S , ώστε : SA=5 , SC=8 . Υπολογίστε το : SB\cdot SD



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1972
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ρομβοδουλειά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 02, 2021 5:24 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 02, 2021 2:09 pm
Ρομβοδουλειά.pngΟ ρόμβος ABCD δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά 5 .

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο S , ώστε : SA=5 , SC=8 . Υπολογίστε το : SB\cdot SD
Από ν.συνημιτόνου στο   \triangle ABC \Rightarrow AC^2=75

Με θ.διαμέσου στο   \triangle SAC \Rightarrow 2SK^2= \dfrac{103}{2} και θ.διαμέσου στο   \triangle SBD \Rightarrow SB^2+SD^2=64

Στον κύκλο (S,5) από σχέση επίκεντρης –εγγεγραμμένης \Rightarrow  \angle BSD=30^0

Tέλος με ν.συνημιτόνου στο \triangle BSD \Rightarrow SD . SB=13 \sqrt{3}
ρομβοδουλειά (2).png
ρομβοδουλειά (2).png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10190
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρομβοδουλειά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 02, 2021 6:21 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 02, 2021 2:09 pm
Ρομβοδουλειά.pngΟ ρόμβος ABCD δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά 5 .

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο S , ώστε : SA=5 , SC=8 . Υπολογίστε το : SB\cdot SD
Είναι AC^2=75. Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο συνημιτόνων στο ASC έχω:
Ρομβοδουλειά.png
Ρομβοδουλειά.png (18.18 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
\displaystyle 64 = 25 + 75 - 50\sqrt 3 \cos (2x + 30^\circ ) \Leftrightarrow \boxed{\cos (2x + 30^\circ ) = \frac{{6\sqrt 3 }}{{25}}} (1)

Με νόμο ημιτόνων στο SDB:

\displaystyle \frac{{SB}}{{\sin (x + 30^\circ )}} = \frac{5}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{SD}}{{\sin x}} \Leftrightarrow SB \cdot SD = 100\sin x\sin (x + 30^\circ ) \Leftrightarrow

\displaystyle SB \cdot SD = 50\left( {\cos 30^\circ  - \cos (2x + 30^\circ )} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{SB \cdot SD = 13\sqrt 3 }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12336
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ρομβοδουλειά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 02, 2021 7:38 pm

Η άσκηση στηρίχτηκε στο γεγονός ότι : SB^2+SD^2=SC^2 , που ήταν το δεύτερο θέμα

της Γεωμετρίας των εισαγωγικών εξετάσεων πριν 50 χρόνια , βλέπε : εδώ .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7802
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ρομβοδουλειά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 02, 2021 8:12 pm

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά σε όλους.

Ρομβοδουλειά.png
Ρομβοδουλειά.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
Τα σημεία S,B,D ανήκουν στον κύκλο \left( {A,5} \right) και άρα SB \cdot SD = 10h\,\,\,\left( 1 \right) όπου h το ύψος του \vartriangle SBD.

Από Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ACS έχω: \boxed{\cos \theta  = \frac{{75 + 25 - 64}}{{50\sqrt 3 }} = \frac{{AE}}{5} \Rightarrow AE = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}}

συνεπώς \boxed{EM = h = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} - \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} SB \cdot SD = 10h = 13\sqrt 3 } .

Όπου EM η προβολή του SD στην AC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης