Ρομβοδουλειά

KARKAR · #1

: Ρομβοδουλειά.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Ο ρόμβος

δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά

.

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο

, ώστε :

. Υπολογίστε το : $SB\cdot SD$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 2:09 pm
Ρομβοδουλειά.pngΟ ρόμβος δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά .

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο , ώστε : . Υπολογίστε το : $SB\cdot SD$

Από ν.συνημιτόνου στο $\triangle ABC \Rightarrow AC^2=75$

Με θ.διαμέσου στο $\triangle SAC \Rightarrow 2SK^2= \dfrac{103}{2}$ και θ.διαμέσου στο $\triangle SBD \Rightarrow SB^2+SD^2=64$

Στον κύκλο (S,5)

από σχέση επίκεντρης –εγγεγραμμένης $\Rightarrow \angle BSD=30^0$

Tέλος με ν.συνημιτόνου στο $\triangle BSD \Rightarrow SD . SB=13 \sqrt{3}$

: ρομβοδουλειά (2).png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 2:09 pm
Ρομβοδουλειά.pngΟ ρόμβος δημιουργήθηκε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων , με πλευρά .

Εκτός του ρόμβου βρίσκεται σημείο , ώστε : . Υπολογίστε το : $SB\cdot SD$

Είναι

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο συνημιτόνων στο ASC

έχω:

: Ρομβοδουλειά.png (18.18 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

$\displaystyle 64 = 25 + 75 - 50\sqrt 3 \cos (2x + 30^\circ ) \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos (2x + 30^\circ ) = \frac{{6\sqrt 3 }}{{25}}}$ (1)

Με νόμο ημιτόνων στο SDB:

$\displaystyle \frac{{SB}}{{\sin (x + 30^\circ )}} = \frac{5}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{SD}}{{\sin x}} \Leftrightarrow SB \cdot SD = 100\sin x\sin (x + 30^\circ ) \Leftrightarrow$

$\displaystyle SB \cdot SD = 50\left( {\cos 30^\circ - \cos (2x + 30^\circ )} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{SB \cdot SD = 13\sqrt 3 }$

KARKAR · #4

Η άσκηση στηρίχτηκε στο γεγονός ότι : SB^2+SD^2=SC^2

, που ήταν το δεύτερο θέμα

της Γεωμετρίας των εισαγωγικών εξετάσεων πριν 50 χρόνια , βλέπε : εδώ .

#5

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά σε όλους.

: Ρομβοδουλειά.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Τα σημεία

ανήκουν στον κύκλο $\left( {A,5} \right)$ και άρα $SB \cdot SD = 10h\,\,\,\left( 1 \right)$ όπου

το ύψος του $\vartriangle SBD$ .

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ACS$ έχω: $\boxed{\cos \theta = \frac{{75 + 25 - 64}}{{50\sqrt 3 }} = \frac{{AE}}{5} \Rightarrow AE = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}}$

συνεπώς $\boxed{EM = h = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} - \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} SB \cdot SD = 10h = 13\sqrt 3 }$ .

Όπου

η προβολή του

στην

.

Ρομβοδουλειά

Ρομβοδουλειά

Re: Ρομβοδουλειά

Re: Ρομβοδουλειά

Re: Ρομβοδουλειά

Re: Ρομβοδουλειά

Μέλη σε σύνδεση