Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

KARKAR · #1

: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο

και εμβαδόν

. Στις πλευρές του AB , CD

θεωρούμε

τυχόντα σημεία S , P

. Οι τομές των AP , BP

με τις

, δημιουργούν το τετράπλευρο PTSQ

.

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του ,

, διέρχεται από το

... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 03, 2021 9:55 am
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.pngΤο είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο και εμβαδόν . Στις πλευρές του θεωρούμε

τυχόντα σημεία . Οι τομές των με τις , δημιουργούν το τετράπλευρο .

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του , , διέρχεται από το ... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .

α) Η

τέμνει την

στο

και τις

στα

αντίστοιχα. Θα δείξω ότι το

είναι μέσο της AC.

: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.α.png (28.48 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Με δύο Μενέλαους στα τρίγωνα APB, SCD

και αντίστοιχες διατέμνουσες $\displaystyle \overline {NTQ} ,\overline {MQT}$ έχω:

$\displaystyle \frac{{PT}}{{TA}} \cdot \frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BQ}}{{QP}} = 1 = \frac{{DT}}{{TS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QC}} \cdot \frac{{CN}}{{ND}}$ κι επειδή $\displaystyle \frac{{PT}}{{TA}} = \frac{{DT}}{{TS}}$ και $\displaystyle \frac{{BQ}}{{QP}} = \frac{{SQ}}{{QC}},$ θα είναι

$\displaystyle \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{CD}}{{ND}},$ απ' όπου το AMCN

είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.

β) Τα γράμματα μέσα στα τρίγωνα συμβολίζουν εμβαδά. Επειδή το DPSA

είναι τραπέζιο θα είναι

$\displaystyle {E_1} = \sqrt {{E_3}{E_4}} \le \frac{{{E_3} + {E_4}}}{2}$ και ομοίως $\displaystyle {E_2} \le \frac{{{E_5} + {E_6}}}{2}.$ Άρα:

: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.β.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

$\displaystyle (PTSQ) \le \frac{{{E_3} + {E_4} + {E_5} + {E_6}}}{2} = \frac{{E - 2(PTSQ)}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(PTSQ) \le \frac{E}{4}}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\boxed{PS||AD}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 03, 2021 9:55 am
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.pngΤο είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο και εμβαδόν . Στις πλευρές του θεωρούμε

τυχόντα σημεία . Οι τομές των με τις , δημιουργούν το τετράπλευρο .

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του , , διέρχεται από το ... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .

Για το α) ερώτημα να πω ότι ο Παππος δίνει άμεση απάντηση

Για το β) ερώτημα η πιο ενδεδειγμένη λυση ειναι μάλλον αυτή του Γιώργου

Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

Re: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

Re: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση