Μέγιστο εμβαδόν 41

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 13.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι

. Σημείο

κινείται στην υποτείνουσα

.

Η

τέμνει την διχοτόμο της γωνίας $\hat{C}$ στο σημείο

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TBS

.

Προαιρετικά επινοήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το (BTS)

καθώς το

κινείται από το

στο

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 8:27 am Μέγιστο εμβαδόν 13.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι . Σημείο κινείται στην υποτείνουσα .

Η τέμνει την διχοτόμο της γωνίας $\hat{C}$ στο σημείο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Προαιρετικά επινοήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το καθώς το κινείται από το στο .

Θέτω

και φέρνω τα ύψη AE=h, TK=y

των τριγώνων ABC, BTS

αντίστοιχα. Εύκολα βρίσκω ότι $\displaystyle h = \frac{{24}}{5}$ και στη συνέχεια $\displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{y}{h} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{24ST}}{{5AS}}}$ (1)

: Μέγιστο εμβαδόν 41.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Μενέλαος στο ABS

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {CTD},$ $\displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} \cdot \frac{{AD}}{{DB}} \cdot \frac{{BC}}{{CS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{TA}} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{10}}{{10 - x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{{50 - 5x}}{{40}},$

απ' όπου $\displaystyle \frac{{ST}}{{AS}} = \frac{{10 - x}}{{18 - x}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} y = \frac{{24(10 - x)}}{{5(18 - x)}},$ άρα η συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν του BTS

καθώς το

κινείται από το

στο

είναι $\boxed{f(x) = = \frac{{12x(10 - x)}}{{5(18 - x)}},0 < x < 10}$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{12}}{5} \cdot \frac{{(x - 30)(x - 6)}}{{{{(18 - x)}^2}}},$ άρα για $\boxed{BS=x=6}$ έχουμε μέγιστο $\boxed{{(BTS)_{\max }} = \frac{{24}}{5}}$

#3

: Μέγιστο εμβαδόν 41_1.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Έστω το ύψος

του $\vartriangle ABC$ και το ύψος TK = h

του $\vartriangle TBS$ . Θέτω $SC = x \Rightarrow BS = u = 10 - x$

Επειδή, $\left( {ABC} \right) = 6 \cdot 8 = 10AH \Rightarrow \boxed{AH = \frac{{24}}{5}}$ . Από το Θ. διχοτόμου στου $\vartriangle ASC$ έχω:

$\dfrac{{AT}}{{TS}} = \dfrac{{CA}}{{CS}} = \dfrac{8}{x} \Rightarrow h = \dfrac{{24x}}{{5(8 + x)}}$ και άρα : $\boxed{\left( {TBS} \right) = f(x) = \dfrac{{12x\left( {10 - x} \right)}}{{5\left( {8 + x} \right)}}}$

Παρουσιάζει για x = 4

το $\boxed{f(4) = \dfrac{{24}}{5}}$ .

Δεν μ αρέσει η συνάρτηση που βρήκα αλλά κάνει τη δουλειά της.

Σπαζοκεφάλιασα να βρω κάτι πιο κομψό αλλά τελικά απ ότι βλέπω και ο Γιώργος μια από τα ίδια είναι

Μέγιστο εμβαδόν 41

Μέγιστο εμβαδόν 41

Re: Μέγιστο εμβαδόν 41

Re: Μέγιστο εμβαδόν 41

Μέλη σε σύνδεση