Διχοτομικά φαινόμενα

KARKAR · #1

: Διχοτομικά φαινόμενα.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

το

είναι το μέσο της

και το

το μέσο του ύψους

.

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει το τμήμα

στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι η

είναι διχοτόμος της $\hat{C}$ .

β) Αν : AB=12 , AC=5

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{MS}{SN}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 10:41 am Διχοτομικά φαινόμενα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της και το το μέσο του ύψους .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τμήμα στο σημείο .

α) Δείξτε ότι η είναι διχοτόμος της $\hat{C}$ .

β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{MS}{SN}$ .

Ας δούμε το α) που το βρήκα πολύ απλό ;

: Διχοτομικά φαινόμενα _a.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

H

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα το

είναι το μέσο του αντιστοίχου τόξου δηλαδή η

διχοτομεί την $\widehat {ACT}$

β) $A{B^2} = BC \cdot BT \Rightarrow \boxed{TB = \frac{{144}}{{13}} \Rightarrow MN = \frac{{72}}{{13}}}$ . Έστω MS = x

θα έχω:

$M{A^2} = x(x + 5) \Rightarrow {x^2} + 5x - 36 = 0 \Rightarrow x = 4$ και άρα $\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}$

: Διχοτομικά φαινόμενα _b.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

KARKAR · #3

: Διχοτομικά φαινόμενα.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Τώρα φανερώθηκε το μυστικό

α) Να δειχθεί ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat{NCM}$ .

nickchalkida · #4

Απάντηση μόνο για το β.

$\displaystyle{ \begin{aligned} & MN^2 = AN^2 + AM^2 = 2.5^2 + 6^2 \rightarrow MN = 6.5 \cr & {MS \over SN} = {MN-SN \over SN} = {MN \over SN} -1 = {6.5 \over 2.5} -1 = 1.6 \cr \end{aligned} }$

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 12:26 pm Διχοτομικά φαινόμενα.pngΤώρα φανερώθηκε το μυστικό α) Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της $\widehat{NCM}$ .

: Διχοτομικά φαινόμενα _c.png (28.56 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Προφανώς αφού η ευθεία

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle ATC$

#6

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 10:41 am Διχοτομικά φαινόμενα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της και το το μέσο του ύψους .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τμήμα στο σημείο .

β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{MS}{SN}$ .

Για το β). Είναι BC=13

και $\displaystyle \frac{1}{2}13AT = (ABC) = \frac{{5 \cdot 12}}{2} \Leftrightarrow AT = \frac{{60}}{{13}}.$

: Διχοτομικά φαινόμενα.png (17.86 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

$\displaystyle M{N^2} = 36 - {\left( {\frac{{30}}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{MN = \frac{{72}}{{13}}}$ (1)

Επίσης, $\displaystyle M{A^2} = MS \cdot MP \Leftrightarrow$

$\displaystyle 36 = MS(MS + SP) \Leftrightarrow M{S^2} + 5MS - 36 = 0 \Leftrightarrow MS = 4\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}$

Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη, αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.

#7

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 12:26 pm Διχοτομικά φαινόμενα.pngΤώρα φανερώθηκε το μυστικό α) Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της $\widehat{NCM}$ .

Αρκεί να δείξω ότι $\omega= \varphi.$

: Διχοτομικά φαινόμενα.β.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Είναι $\displaystyle bc = aAT \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AT}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{MB}}$ κι επειδή $\displaystyle C\widehat AN = C\widehat BM,$ τα τρίγωνα CAN, CBM

είναι όμοια και το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #8

george visvikis έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 5:51 pm
$\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}$ . Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη,

αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.

Γιώργο επίσης δεν κατάλαβες , όπως και ο Νίκος , ότι ο ζητούμενος λόγος ήταν ο $\boxed{\frac{{MS}}{{SN}} = \frac{{13}}{{5}}}$

nickchalkida · #9

Ζητώ συγνώμη διότι προηγουμένως την άσκηση την έλυσα κάνοντας λάθος στο σχήμα,
έτσι επανέρχομαι.

Εύκολα βλέπω ότι το

διχοτομεί το τόξο

και ότι

διχοτομεί την $\angle BAT$ .
Υπολογίζω διαδοχικά

$\displaystyle{ \begin{aligned} & MD^2 = 6^2 +2.5^2 \rightarrow MD=6.5 \cr & NA \cdot MD = DA \cdot MA \rightarrow NA = {2.5 \cdot 6 \over 6.5} = {30 \over 13} \cr & {MS \over SN} = {MA \over NA} = {13 \over 5} \cr \end{aligned} }$

#10

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Φεβ 05, 2021 5:51 pm
$\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}$ . Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη,

αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.
Γιώργο επίσης δεν κατάλαβες , όπως και ο Νίκος , ότι ο ζητούμενος λόγος ήταν ο $\boxed{\frac{{MS}}{{SN}} = \frac{{13}}{{5}}}$

Μπορεί να μην απαντήσαμε στο σωστό ερώτημα, απαντήσαμε όμως σωστά στο λάθος ερώτημα

ΥΓ. Απ' ότι βλέπω εκ των υστέρων, στις τρεις αρχικές αναρτήσεις, κανείς δεν απάντησε στο σωστό ερώτημα

Διχοτομικά φαινόμενα

Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Μέλη σε σύνδεση