Λόγω πολλών επαφών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12467
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγω πολλών επαφών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 06, 2021 8:01 pm

Λόγω  πολλών  επαφών.png
Λόγω πολλών επαφών.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι R . Μεταξύ των διαφόρων καμπυλών ότι φαίνεται ως επαφή , είναι ... επαφή .

Το τμήμα MS , ( M μέσο της OB ) , επίσης εφάπτεται του κύκλου . Υπολογίστε το MS ( συναρτήσει της R ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Λόγω πολλών επαφών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Απρ 07, 2021 9:26 pm

Υπολογίζω διαδοχικά

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \tan a = {1 \over 3}, \ \cos a =  {3 \over \sqrt{10}}, \ \sin a =  {1 \over \sqrt{10}} \cr 
& DU=R\cos a = {3R \over \sqrt{10}}, \ UI=R\sin a = {R \over \sqrt{10}} \cr 
& DA^2 = DU^2 +UI^2 \rightarrow DA = {\sqrt{10}R \over 2} \cr 
& UA=DA-DU = {3R \over \sqrt{10}}, \ {DU/UA} = {3\over 2} \cr 
& {DI \over PA} = {3\over 2} \rightarrow NA =  {R\over 3} \cr 
\end{aligned} 
}

Παρόμοια αποδεικνύω ότι KI =  {R\over 6}. Τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MC^2 = MI \cdot MF \rightarrow MC = {R \over 2}\sqrt{{5 \over 3}} \cr 
& 
\left. 
\begin{aligned} 
& y = {x \over \sqrt{15}} \cr 
& x^2 + y^2 = R^2 \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow x = {3\sqrt{15} R \over 16}, \ y={11 R \over 16}, \ SR = {3R \over 16}, \ \tan b = {1 \over \sqrt{15}} 
\cr 
& MS^2 = MR^2 + SR^2 \rightarrow MS = {3 \over 4} R \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_pepafes.png
rsz_pepafes.png (80.09 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγω πολλών επαφών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 08, 2021 12:35 pm

Πρώτα η κατασκευή του σχήματος.
Λόγω πολλών επαφών.png
Λόγω πολλών επαφών.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου OB. Επί της ακτίνας OA θεωρώ τα σημεία N, P ώστε NA=NP=\dfrac{R}{3} και

γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου AP. Από το N υψώνω κάθετο στην OA που τέμνει τη μεσοκάθετο του OB στο K.

Τέλος, γράφω τον κύκλο \displaystyle \left( {K,\frac{R}{6}} \right) και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Απόδειξη: \displaystyle OM = \frac{R}{2} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} = NK και \displaystyle ON = \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{2} + \frac{R}{6} = MK, άρα ο κύκλος (K) εφάπτεται

εξωτερικά στα δύο ημικύκλια. Εξάλλου, με Π.Θ στο OMN βρίσκω \displaystyle MN = \frac{{5R}}{6} = \frac{R}{2} + \frac{R}{3}, που σημαίνει ότι τα

δύο ημικύκλια εφάπτονται εξωτερικά μεταξύ τους. Τέλος, \displaystyle OK = MN = \frac{{5R}}{6} = R - \frac{R}{6}, οπότε κύκλος (K)

εφάπτεται εσωτερικά στο τεταρτοκύκλιο και ολοκληρώνεται η απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγω πολλών επαφών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 08, 2021 1:51 pm

nickchalkida έγραψε:
Τετ Απρ 07, 2021 9:26 pm
Υπολογίζω διαδοχικά

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \tan a = {1 \over 3}, \ \cos a =  {3 \over \sqrt{10}}, \ \sin a =  {1 \over \sqrt{10}} \cr 
& DU=R\cos a = {3R \over \sqrt{10}}, \ UI=R\sin a = {R \over \sqrt{10}} \cr 
& DA^2 = DU^2 +UI^2 \rightarrow DA = {\sqrt{10}R \over 2} \cr 
& UA=DA-DU = {3R \over \sqrt{10}}, \ {DU/UA} = {3\over 2} \cr 
& {DI \over PA} = {3\over 2} \rightarrow NA =  {R\over 3} \cr 
\end{aligned} 
}

Παρόμοια αποδεικνύω ότι KI =  {R\over 6}. Τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MC^2 = MI \cdot MF \rightarrow MC = {R \over 2}\sqrt{{5 \over 3}} \cr 
& 
\left. 
\begin{aligned} 
& y = {x \over \sqrt{15}} \cr 
& x^2 + y^2 = R^2 \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow x = {3\sqrt{15} R \over 16}, \ y={11 R \over 16}, \ SR = {3R \over 16}, \ \tan b = {1 \over \sqrt{15}} 
\cr 
& MS^2 = MR^2 + SR^2 \rightarrow MS = {3 \over 4} R \cr 
\end{aligned} 
}
Επειδή μας διαβάζουν κυρίως μαθητές, καλό είναι να είμαστε σαφείς σε αυτά που γράφουμε, ώστε να γινόμαστε κατανοητοί. Υπάρχουν πολλά πράγματα εδώ που δεν καταλαβαίνω:

1) Στην αρχή εμφανίζεται μία σχέση \displaystyle \tan a = \frac{1}{3}. Αλλά η γωνία a δεν φαίνεται στο σχήμα, ούτε και ορίζεται στη λύση.

2) Στη συνέχεια εμφανίζονται από το πουθενά δύο μεταβλητές x, y, που επίσης δεν φαίνονται στο σχήμα ούτε και ορίζονται στη λύση.

3) Τέλος στην εκφώνηση έχει δοθεί η ακτίνα R του τεταρτοκυκλίου, αλλά στο σχήμα υπάρχει και ένα γράμμα με το ίδιο σύμβολο R, καθώς επίσης και μία σχέση \displaystyle SR = \frac{{3R}}{{16}}, που αν δεχτούμε την εκφώνηση θα πρέπει το γράμμα S να πάρει την τιμή \dfrac{3}{16}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγω πολλών επαφών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 08, 2021 5:38 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 06, 2021 8:01 pm
Λόγω πολλών επαφών.pngΗ ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι R . Μεταξύ των διαφόρων καμπυλών ότι φαίνεται ως επαφή , είναι ... επαφή .

Το τμήμα MS , ( M μέσο της OB ) , επίσης εφάπτεται του κύκλου . Υπολογίστε το MS ( συναρτήσει της R ) .
Στην άσκησή μας τώρα.

Έστω T το σημείο επαφής της εφαπτομένης MS με τον κύκλο (K). Θέτω MS=x.
Λόγω πολλών επαφών.β.png
Λόγω πολλών επαφών.β.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι \displaystyle MK = \frac{{2R}}{3},KT = \frac{R}{6} \Rightarrow \sin \theta  = \frac{1}{4} και με νόμο συνημιτόνου στο OMS:

\displaystyle {R^2} = \frac{{{R^2}}}{4} + {x^2} - Rx\cos (90^\circ  + \theta ) \Leftrightarrow 3{R^2} = 4{x^2} + 4Rx\sin \theta  \Leftrightarrow

\displaystyle 4{x^2} + Rx - 3{R^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x=MS=\frac{3R}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης