Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#1

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Δίδεται κύκλος και διάμετρός του $\overline {AOB}$ . Στην ακτίνα

( πιο κοντά στο

) θεωρώ σταθερό σημείο

.

Στην ακτίνα

( πιο κοντά στο

) θεωρώ σταθερό σημείο

.

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο

του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες $MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME$ κόψουν τον κύκλο στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα , η χορδή

να είναι παράλληλη στη διάμετρο

.

nickchalkida · #2

[Δίνω μόνο την κατασκευή, όχι την ανάλυση]

Στα σημεία

,

φέρνω καθέτους επί της

οι οποίες τέμνουν τον κύκλο (O,OA)

στα

,

αντίστοιχα.
Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο με λόγο αποστάσεων από τα

,

ίσο με

.
Η τομή του Απολλώνιου κύκλου με τον αρχικό προσδιορίζει το σημείο

, οπότε και τα

,

.

#3

nickchalkida έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 10:53 pm
[Δίνω μόνο την κατασκευή, όχι την ανάλυση]

Στα σημεία , φέρνω καθέτους επί της οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα , αντίστοιχα.
Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο με λόγο αποστάσεων από τα , ίσο με .
Η τομή του Απολλώνιου κύκλου με τον αρχικό προσδιορίζει το σημείο , οπότε και τα , .

Ωραίος!

nickchalkida · #4

Ευχαριστώντας την ενθάρρυνση (Νίκου, Γιώργου) και επειδή ακόμα χρωστάω την ανάλυση ... η ανάλυση κάτωθι.

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Τότε τα σημεία

,

αλλά και τα σημεία

,

θα είναι ορισμένα,
καθώς και όλοι οι λόγοι των τμημάτων που προσδιορίζονται από αυτά. Επειδή τότε $AB \parallel ZH$ θα είναι

$\displaystyle{ {DM \over DZ} = {EM \over EH} }$

αλλά είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & DM \cdot DZ = AD \cdot DB \rightarrow {DM \over DZ} ={AD \cdot DB \over DZ^2} \cr & EM \cdot EH = AE \cdot EB \rightarrow {EM \over EH} ={AE \cdot EB \over EH^2} \cr \end{aligned} }$

άρα τότε θα είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {AD \cdot DB \over DZ^2} ={AE \cdot EB \over EH^2} \rightarrow \cr & \cr & {DZ^2 \over EH^2} = {AD \cdot DB \over AE \cdot EB} = {CD^2 \over EF^2} \rightarrow \cr & \cr & {DZ \over EH} = {MD \over ME} = {CD \over EF} \cr \end{aligned} }$

Δηλαδή το

έχει σταθερό λόγο αποστάσεων από τα

,

που είναι ίσος με CD / EF

.

KARKAR · #5

: Κρητική παραλληλία.png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Στην προέκταση της

, θεωρώ τμήμα $AS=\dfrac{k(2r-m)}{m-k}$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Αυτό είναι το

!

( Είναι : $SA\cdot SB=SD\cdot SE=SM^2$ ) κ.λ.π. Νομίζω ότι κάπως έτσι σκέφτηκε ο θεματοδότης

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 09, 2021 7:08 pm
Κρητική παραλληλία.pngΣτην προέκταση της , θεωρώ τμήμα $AS=\dfrac{k(2r-m)}{m-k}$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Αυτό είναι το !

( Είναι : $SA\cdot SB=SD\cdot SE=SM^2$ ) κ.λ.π. Νομίζω ότι κάπως έτσι σκέφτηκε ο θεματοδότης

Όχι, κάθε άλλο. Η λύση μου ήδη υπάρχει σε ένα σου θέμα

. Είναι στο ίδιο "μήκος κύματος" με την λύση του Νίκου .

Πάντως και οι δύο λύσεις ( του Νίκου κι εσένα ) είναι πολύ ωραίες

Θα αναμένω τυχόν άλλες λύσεις και μετά θα γράψω .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 6:53 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png

Δίδεται κύκλος και διάμετρός του $\overline {AOB}$ . Στην ακτίνα ( πιο κοντά στο ) θεωρώ σταθερό σημείο .

Στην ακτίνα ( πιο κοντά στο ) θεωρώ σταθερό σημείο .

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες $MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME$ κόψουν τον κύκλο στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα , η χορδή να είναι παράλληλη στη διάμετρο .

Με $AB//ZH \Rightarrow AZ=BH \Rightarrow \angle \theta = \angle \phi$ κι από θ.Steiner

$\dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{AD.AE}{BE.BD} =c$ σταθερό

Με το σημείο

χωρίζουμε εσωτερικά τη διάμετρο

σε λόγο

. Η τομή της κάθετης στη διάμετρο στο

με

τον κύκλο,προσδιορίζει τη θέση του

: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

#8

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 10, 2021 12:26 am

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 6:53 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png

Δίδεται κύκλος και διάμετρός του $\overline {AOB}$ . Στην ακτίνα ( πιο κοντά στο ) θεωρώ σταθερό σημείο .

Στην ακτίνα ( πιο κοντά στο ) θεωρώ σταθερό σημείο .

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες $MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME$ κόψουν τον κύκλο στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα , η χορδή να είναι παράλληλη στη διάμετρο .
Με $AB//ZH \Rightarrow AZ=BH \Rightarrow \angle \theta = \angle \phi$ κι από θ.Steiner

$\dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{AD.AE}{BE.BD} =c$ σταθερό

Με το σημείο χωρίζουμε εσωτερικά τη διάμετρο σε λόγο . Η τομή της κάθετης στη διάμετρο στο με

τον κύκλο,προσδιορίζει τη θέση του

Μια ακόμα εντυπωσιακή λύση

τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Μέλη σε σύνδεση