Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

KARKAR · #1

: Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, θεωρούμεμε σημείο

της βάσης

, ώστε

.

Σημείο

κινείται πάνω στο ύψος

. Οι

τέμνουν τις AP , AC

στα σημεία S , Q

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα σημεία B , S , Q

, είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 13, 2021 10:31 am
Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις.png Στο ισοσκελές τρίγωνο , θεωρούμεμε σημείο της βάσης , ώστε .

Σημείο κινείται πάνω στο ύψος . Οι τέμνουν τις στα σημεία

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

Θέτω $\boxed{PD = k \Rightarrow PB = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 3k}$ . Επειδή , $\left\{ \begin{gathered} \frac{{PD}}{{PB}} = \frac{k}{{2k}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{3k}}{{6k}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Συνευθειακά υπό προυποθέσεις.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές

Η τετράδα $\left( {P,C\backslash B,D} \right)$ είναι αρμονική . Αν

το σημείο τομής των ευθειών AD,SQ

θα είναι αρμονικές οι δέσμες :

$A\left( {P,C\backslash B,D} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A\left( {S,Q\backslash B,F} \right)\,\,$ και συνεπώς η ευθεία

θα διέρχεται από το σταθερό σημείο

.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 13, 2021 10:31 am
Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις.png Στο ισοσκελές τρίγωνο , θεωρούμεμε σημείο της βάσης , ώστε .

Σημείο κινείται πάνω στο ύψος . Οι τέμνουν τις στα σημεία

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

Από το θεώρημα του Ceva

στο τρίγωνο $APC,\dfrac{PD}{DC}.\dfrac{QS}{QA}.\dfrac{AS}{SP}=1\Rightarrow \dfrac{AS}{SP}=3\dfrac{QA}{QC},(1)$
Απο το αντίστροφο θ.Μενελάου στο τρίγωνο APC

με τέμνουσα BSQ

θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{AS}{SP}.\dfrac{BP}{BC}.\dfrac{QC}{AQ}=1$

Είναι $\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{1}{3}$ και λόγω της σχέσης (1)

ισχύει η αποδεικτέα

#4

: Σκαληνό.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο με διάμεσο AD.

Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

Re: Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

Re: Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

Re: Συνευθειακότητα υπό προϋποθέσεις

Μέλη σε σύνδεση