Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Το σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

. Το

είναι το μέσο της χορδής

.

Η ευθεία

τέμνει το τόξο στο σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SAB

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 24, 2021 1:05 pm Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.pngΤο σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Το είναι το μέσο της χορδής .

Η ευθεία τέμνει το τόξο στο σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

$\displaystyle {(SAB)_{\max }} = \frac{{4{r^2}\sqrt 2 }}{9}$ όταν $\displaystyle x = \frac{{r\sqrt 3 }}{3}$

Edit: Άρση απόκρυψης.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 24, 2021 1:05 pm Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.pngΤο σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Το είναι το μέσο της χορδής .

Η ευθεία τέμνει το τόξο στο σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αρκεί το ύψος

του $\vartriangle SAB$ να γίνει μέγιστο .

Ας είναι

το σημείο τομής της ακτίνας

με την

.

Από το Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle TAO$ με διατέμνουσα $\overline {MFB}$ έχω:

$\boxed{\dfrac{{TM}}{{MA}} \cdot \dfrac{{AB}}{{BO}} \cdot \dfrac{{OF}}{{FT}} = 1 \Leftrightarrow 1 \cdot 2\dfrac{{OF}}{{FT}} = 1 \Leftrightarrow OF = \dfrac{2}{3}OT = \dfrac{2}{3}r}$

: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Δηλαδή το

διαγράφει το σταθερό ημικύκλιο : $\boxed{\left( {O,\dfrac{r}{3}} \right)}$ .

Μετά απ’ αυτά αβίαστα προκύπτει ότι για να πετύχω το μέγιστο ύψος

αρκεί να εφάπτεται η

στο πιο πάνω ημικύκλιο $\left( {O,\dfrac{r}{3}} \right)$ .

Τότε: με

η προβολή του

στην

τα $P\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F\,$ ταυτίζονται,

$PB = \dfrac{{2\sqrt 2 r}}{3}\,\,,\,\,{\left( {POB} \right)_{\max }} = \dfrac{{\sqrt 2 {r^2}}}{9}$ , οπότε : $\boxed{{{\left( {SAB} \right)}_{\max }} = 4{{\left( {POB} \right)}_{\max }} = \dfrac{{4\sqrt 2 {r^2}}}{9}}$ .

Ευχαριστώ τον Θανάση για την εύστοχη παρατήρηση:

Το

είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle TAB$

#4

Έστω

το μέσο του

και

οπότε

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως οξείες με πλευρές κάθετες.

Άρα τα τρίγωνα ONM, MTB

είναι όμοια και $\displaystyle \frac{x}{{MB}} = \frac{{MN}}{{2x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{MN \cdot MB = 2{x^2}}$ (1)

: Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

$\displaystyle AM = MT = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \Rightarrow M{B^2} = M{T^2} + 4{x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{MB^2=3x^2+r^2}$ (2)

$\displaystyle AM \cdot MT = SM \cdot MB \Leftrightarrow A{M^2} = \left( {\frac{{SB}}{2} - MN} \right)MB\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{SB}}{2}MB = {x^2} + {r^2}$

Αλλά, από την ομοιότητα των SAM, TBM

είναι $\displaystyle SA \cdot MB = 2xAM = 2x\sqrt {{r^2} - {x^2}}$ και

πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη με την προηγούμενη σχέση, $\displaystyle \frac{{SA \cdot SB}}{2}M{B^2} = 2x({x^2} + {r^2})\sqrt {{r^2} - {x^2}} \mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$

$\boxed{(SAB) = \frac{{2x({x^2} + {r^2})\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}{{3{x^2} + {r^2}}}}$ Με τη βοήθεια παραγώγων τώρα, βρίσκω ότι το ζητούμενο εμβαδόν

μεγιστοποιείται όταν $\boxed{ x = \frac{{r\sqrt 3 }}{3}}$ και παίρνει την τιμή $\boxed{ {(SAB)_{\max }} = \frac{{4{r^2}\sqrt 2 }}{9}}$

nickchalkida · #5

Παρατηρώντας ότι ο γ.τ. του μέσου

είναι ο κύκλος $\displaystyle (D, {r \over 2})$ ,
η "υψηλότερη" θέση του

είναι όταν η

εφάπτεται αυτού του κύκλου,
τότε είναι $\displaystyle sin(\alpha) = {1 \over 3}$ και $SA \parallel MD$ , οπότε

$\displaystyle{ sin(\alpha)={SA \over 2r}\rightarrow SA={2r \over 3}, \ \ \ SB^2=4r^2-{4r^2 \over 9}={32 \over 9}r^2, \ \ \ (SAB)_{max}={1 \over 2}{2r \over 3}{\sqrt{32}r \over 3}={4\sqrt{2}r^2 \over 9} }$

#6

nickchalkida έγραψε: Τρί Μάιος 25, 2021 10:47 pm Παρατηρώντας ότι ο γ.τ. του μέσου είναι ο κύκλος $\displaystyle (D, {r \over 2})$ ,
η "υψηλότερη" θέση του είναι όταν η εφάπτεται αυτού του κύκλου,
τότε είναι $\displaystyle sin(\alpha) = {1 \over 3}$ και $SA \parallel MD$ , οπότε

$\displaystyle{ sin(\alpha)={SA \over 2r}\rightarrow SA={2r \over 3}, \ \ \ SB^2=4r^2-{4r^2 \over 9}={32 \over 9}r^2, \ \ \ (SAB)_{max}={1 \over 2}{2r \over 3}{\sqrt{32}r \over 3}={4\sqrt{2}r^2 \over 9} }$

Πολύ όμορφη βελτίωση

, της ημετέρας διαπραγμάτευσης .

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση