Κλασικές κατασκευές 1
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Κλασικές κατασκευές 1
Να κατασκευάσετε τρίγωνο όταν δίνονται η πλευρά η γωνία και η διάμεσος
Όπως το λέει και ο τίτλος είναι κλασική κατασκευή και πιθανόν να έχει τεθεί ξανά. Ας μη βιαστούμε να δώσουμε παραπομπές.
Όπως το λέει και ο τίτλος είναι κλασική κατασκευή και πιθανόν να έχει τεθεί ξανά. Ας μη βιαστούμε να δώσουμε παραπομπές.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κλασικές κατασκευές 1
Προφανώς : . Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις :
Πρώτη : Αν τότε όλα τα σημεία , του κύκλου διαμέτρου ,
πλην των , είναι λύσεις του προβλήματος .Τότε : . Δεύτερη : . Σχεδιάζω την γωνία . Η κάθετη προς την στο τέμνει την μεσοκάθετη της
στο . Οι κύκλοι και τέμνονται στο σημείο , το οποίο (χορδή - εφαπτομένη ) , είναι λύση
του προβλήματος . Πρέπει όμως : , ( στην περίπτωση της ισότητας το συμπίπτει με το
και είναι μοναδικό , σε άλλη περίπτωση έχουμε κάθε φορά δύο λύσεις . ( Φυσικά μπορούμε εργασθούμε στον "νότο") . Τρίτη: : Κάνουμε τις ίδιες κινήσεις με την δεύτερη , μόνο που τώρα πρέπει : .
Πρώτη : Αν τότε όλα τα σημεία , του κύκλου διαμέτρου ,
πλην των , είναι λύσεις του προβλήματος .Τότε : . Δεύτερη : . Σχεδιάζω την γωνία . Η κάθετη προς την στο τέμνει την μεσοκάθετη της
στο . Οι κύκλοι και τέμνονται στο σημείο , το οποίο (χορδή - εφαπτομένη ) , είναι λύση
του προβλήματος . Πρέπει όμως : , ( στην περίπτωση της ισότητας το συμπίπτει με το
και είναι μοναδικό , σε άλλη περίπτωση έχουμε κάθε φορά δύο λύσεις . ( Φυσικά μπορούμε εργασθούμε στον "νότο") . Τρίτη: : Κάνουμε τις ίδιες κινήσεις με την δεύτερη , μόνο που τώρα πρέπει : .
Re: Κλασικές κατασκευές 1
Ανάλυση .
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Τότε το ορθογώνιο ( στο ) τρίγωνο, κατασκευάζεται γιατί ξέρουμε την μια
κάθετη πλευρά του και την γωνία του .
Κατασκευή
Κατασκευάζω το πιο πάνω τρίγωνο και θεωρώ το συμμετρικό του ως προς το .
Στη συνέχεια ο κύκλος τέμνει τον κύκλο στο σημείο Διερεύνηση
Με οξεία την γωνία :
α) Οξεία.
Αν οι δυο κύκλοι τέμνονται έχουμε μια λύση ( γιατί το άλλο σημείο τομής τους δίδει ίσο τρίγωνο )
Αν οι κύκλοι εφάπτονται έχουμε πάλι μια (ισοσκελές τρίγωνο) . Αν οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο το πρόβλημα δεν έχει λύση .
β) Αμβλεία Τώρα η γωνία και το να είναι στο μικρό τόξο , χορδής του κύκλου . Το πλήθος των λύσεων όπως προηγουμένως.
γ) η γωνία είναι ορθή , τότε και όλα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι λύση !
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Τότε το ορθογώνιο ( στο ) τρίγωνο, κατασκευάζεται γιατί ξέρουμε την μια
κάθετη πλευρά του και την γωνία του .
Κατασκευή
Κατασκευάζω το πιο πάνω τρίγωνο και θεωρώ το συμμετρικό του ως προς το .
Στη συνέχεια ο κύκλος τέμνει τον κύκλο στο σημείο Διερεύνηση
Με οξεία την γωνία :
α) Οξεία.
Αν οι δυο κύκλοι τέμνονται έχουμε μια λύση ( γιατί το άλλο σημείο τομής τους δίδει ίσο τρίγωνο )
Αν οι κύκλοι εφάπτονται έχουμε πάλι μια (ισοσκελές τρίγωνο) . Αν οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο το πρόβλημα δεν έχει λύση .
β) Αμβλεία Τώρα η γωνία και το να είναι στο μικρό τόξο , χορδής του κύκλου . Το πλήθος των λύσεων όπως προηγουμένως.
γ) η γωνία είναι ορθή , τότε και όλα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι λύση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες