Μήκος τόπου

#1

: Μήκος τόπου.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές

Δίνεται κύκλος (O, R)

και ένα σταθερό εσωτερικό του σημείο

με $\displaystyle OA = \frac{R}{2}.$ Η χορδή

μεταβάλλεται έτσι ώστε

AB^2+AC^2=R^2.

Να βρείτε το μήκος της γραμμής που σχηματίζεται από το σύνολο των μέσων

των χορδών BC.

S.E.Louridas · #2

Παρατηρούμε ότι: ${R^2} = O{M^2} + M{C^2} \Leftrightarrow 2{R^2} = 2O{M^2} + 2M{C^2}.$

Επίσης παρατηρούμε ότι: $2A{M^2} + 2M{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {R^2}.$

Έτσι καταλήγουμε στη σχέση $\displaystyle{M{O^2} - M{A^2} = \frac{{{R^2}}}{2},}$

άρα στην σχέση $\displaystyle{T{M^{\;'}} = \frac{R}{2},}$ από το δεύτερο θεώρημα της διαμέσου, αν

είναι το μέσο του

και

η προβολή του

στην ημιευθεία OA.

Έπομένως παίρνουμε ως γεωμετρικό τόπο την χορδή του κύκλου που απέχει από το

απόσταση $\displaystyle{\frac{{3R}}{4}.}$

Από το Π.Θ. τελικά λαμβάνουμε το μήκος της: $\displaystyle{\frac{{R\sqrt 7 }}{4}.}$

Μήκος τόπου

Μήκος τόπου

Re: Μήκος τόπου

Μέλη σε σύνδεση