Λογική συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Λογική συνευθειακότητα.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Στην πλευρά

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε τυχόν σημείο

και σχεδιάζουμε

στο άλλο ημιεπίπεδο , τα επίσης ισόπλευρα τρίγωνα BSD , CSE

. Ονομάζουμε

την τομή

των τμημάτων BE , CD

. Δείξτε ότι τα σημεία A , S , T

είναι συνευθειακά .

Lymperis Karras · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 7:06 pm
Λογική συνευθειακότητα.pngΣτην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόν σημείο και σχεδιάζουμε

στο άλλο ημιεπίπεδο , τα επίσης ισόπλευρα τρίγωνα . Ονομάζουμε την τομή

των τμημάτων . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Στα γρήγορα γιατί γράφω από κινητό.
Το

είναι το σημείο Steiner του τριγωνου SDE

, άρα $\widehat{STD}=120^{\circ}$ . Άρα BSTD

εγγράψιμο, και $\widehat{BTS}=60^{\circ}$ .

Όμοια παίρνουμε και ότι $\widehat{CTS}=60^{\circ}$ .

Άρα το

ανήκει στον περιγεγραμμενο κύκλο του τριγωνου ABC

και επειδή AB=AC

είναι $\widehat{BTA}=\widehat{CTA}=60^{\circ}$ .

Όμως και $\widehat{BTS}=60^{\circ}$ άρα $\widehat{BTS}=\widehat{BTA}$ και λοιπά.

#3

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 10:07 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 7:06 pm
Λογική συνευθειακότητα.pngΣτην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόν σημείο και σχεδιάζουμε

στο άλλο ημιεπίπεδο , τα επίσης ισόπλευρα τρίγωνα . Ονομάζουμε την τομή

των τμημάτων . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
Στα γρήγορα γιατί γράφω από κινητό.
Το είναι το σημείο Steiner του τριγωνου , άρα $\widehat{STD}=120^{\circ}$ . Άρα εγγράψιμο, και $\widehat{BTS}=60^{\circ}$ .

Όμοια παίρνουμε και ότι $\widehat{CTS}=60^{\circ}$ .

Άρα το ανήκει στον περιγεγραμμενο κύκλο του τριγωνου και επειδή είναι $\widehat{BTA}=\widehat{CTA}=60^{\circ}$ .

Όμως και $\widehat{BTS}=60^{\circ}$ άρα $\widehat{BTS}=\widehat{BTA}$ και λοιπά.

Απλά και ωραία

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 7:06 pm
Λογική συνευθειακότητα.pngΣτην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόν σημείο και σχεδιάζουμε

στο άλλο ημιεπίπεδο , τα επίσης ισόπλευρα τρίγωνα . Ονομάζουμε την τομή

των τμημάτων . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τις EB,DC

στα

αντίστοιχα και

προφανώς τα τρίγωνα AKB,BCE

είναι όμοια ,όπως και τα ALC,BCD

Άρα, $\dfrac{KA}{a} = \dfrac{a}{CS} \Rightarrow KA.CS=a^2$ και $\dfrac{AL}{a} = \dfrac{a}{BS} \Rightarrow AL.BS=a^2$

Έτσι, $KA.CS = AL.BS \Rightarrow \dfrac{KA}{BS} = \dfrac{AL}{CS}$ κι από θ.κεντρικής δέσμης,

KB,LC,AS

συγκλίνουν στο

: Λογική συνευθειακότητα.png (64.26 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Λογική συνευθειακότητα

Λογική συνευθειακότητα

Re: Λογική συνευθειακότητα

Re: Λογική συνευθειακότητα

Re: Λογική συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση