Ένα δύο τρία κατασκευή

#1

: Ενα δύο τρία Κατασκευή.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο ABC

, αν υπάρχει σημείο της πλευράς

για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2021 10:53 pm
Ενα δύο τρία Κατασκευή.png

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο , αν υπάρχει σημείο της πλευράς για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

Ανάλυση: Με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα είναι $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin \theta }} = \frac{k}{m} \Leftrightarrow a = \frac{{bk}}{m}$

Αλλά στο τρίγωνο ADC

μία γωνία είναι διπλάσια μιας άλλης, άρα:

$\displaystyle {b^2} = {m^2} + m\left( {\frac{{bk}}{m} - k} \right) \Leftrightarrow {b^2} - kb + mk - {m^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{b > m}$ $\boxed{b=k-m}$ και $\boxed{a = \frac{{{k^2} - km}}{{m}}}$

: 1,2,3 κατασκευή.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Κατασκευή: Παίρνω το τμήμα BC=a

και προσδιορίζω το σημείο

ώστε

Οι κύκλοι

τέμνονται στην τρίτη κορυφή

του ζητούμενου τριγώνου. Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει άμεσα από την Ανάλυση.

Διερεύνηση: $\displaystyle b > m \Leftrightarrow k > 2m.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin \theta }} = 3 - 4{\sin ^2}\theta \Leftrightarrow \frac{{3m - k}}{m} = 4{\sin ^2}\theta > 0,$

απ' όπου k<3m.

Για να έχουμε, λοιπόν, λύση πρέπει $\boxed{2m<k<3m}$

Στο σχήμα είναι k=10, m=4, a=15, b=6.

Altrian · #3

Καλησπέρα,

Παίρνω τμήμα BD=k, BQ=m

και τον κύκλο (D,m)

. Η μεσοκάθετη του

τέμνει τον κύκλο έστω στο

. Η

επανατέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο

. Από το

φέρνω παράλληλη προς την

η οποία τέμνει την προέκταση της

στο

.
Η απόδειξη είναι απλή με τις γωνίες.
Προϋπόθεση κατασκευής: 2m < k < 3m

που επαληθεύεται και για τα δύο set δεδομένων

#4

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2021 10:53 pm

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο , αν υπάρχει σημείο της πλευράς για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

Νίκο καλησπέρα από Γρεβενά...

Παραθέτω μια άποψη λίγο διαφορετική από αυτή του Γιώργου.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευτή τριγώνου 1.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{c}{b}=2cos\theta \ \ (1) }$

Όμοια από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ ABD}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{m}{sin\theta}=\frac{k}{sin(3\theta)} \ \ (2)}$

Από τη (2) και κάνοντας χρήση του ημιτόνου του τριπλασίου τόξου προκύπτει εύκολα ότι:

$\displaystyle{\frac{m}{k}=\frac{1}{-1+4cos^2\theta} \ \ (3)}$

Η σχέση (3) βοηθούμενη από τη σχέση (1) δίνει τελικά:

$\displaystyle{\frac{m}{k}=\frac{b^2}{c^2-b^2} }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{ \frac{c}{b}=\sqrt{\frac{k+m}{m}} \ \ (4)}$

Η σχέση (4) βοηθούμενη από την (1) δίνει τελικά:

$\displaystyle{cos\theta =\frac{\sqrt{k+m}}{2\sqrt{m}} \ \ (5)}$

Από τη μορφή της (5) κατασκευάζεται (με κανόνα και διαβήτη) η γωνία $\displaystyle{\theta}$ και

συνεπώς το τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ .

Για να ολοκληρωθεί τώρα η όλη κατασκευή αρκεί να βρεθεί η τρίτη κορυφή του ζητούμενου τριγώνου,

δηλαδή η κορυφή $\displaystyle{C}$ .

Η κορυφή αυτή κατασκευάζεται με την τομή:

του τόξου που "βλέπει" την πλευρά $\displaystyle{AD=m}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ με γωνία ίση με $\displaystyle{2\theta}$

και

της ευθείας που ορίζει η πλευρά $\displaystyle{BD}$ τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ .

Σύμφωνα με την ιδέα αυτή έγινε και κατασκευή του ανωτέρω σχήματος όπου οι δρομείς

των τμημάτων $\displaystyle{k, m}$ μπορούν να λάβουν διάφορες τιμές.

Ποιες είναι αυτές;

1ο)Από τη σχέση (5) πρέπει να είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k+m}{m}} \leq 1 \Rightarrow ....\Rightarrow k \leq 3m \ \ (6)}$

2o) Επειδή είναι: $\displaystyle{x=\pi -6\theta }$ επειδή πρέπει $\displaystyle{x \geq 0}$ άρα:

$\displaystyle{\theta \geq \frac{\pi}{6} \Rightarrow cos\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ... \Rightarrow k\geq 2m \ \ (7)}$

Άρα θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{2m<k<3m \ \ (8) }$

Η σχέση αυτή δεν περιλαμβάνει τις οριακές θέσεις των ισοτήτων των (6) και (7).

Κώστας Δόρτσιος

STOPJOHN · #5

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2021 10:53 pm
Ενα δύο τρία Κατασκευή.png

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο , αν υπάρχει σημείο της πλευράς για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

Ανάλυση

Στο τρίγωνο από το νόμο του ημιτόνου

$\dfrac{k}{sin3\theta }= \dfrac{m}{sin\theta }\Leftrightarrow sin^{2}\theta =\dfrac{3}{4}-\dfrac{k}{4m}\Rightarrow k< 3m,(*),$ αρα η γωνία $\theta$ είναι γνωστή .

Εστω $DE//AB \Rightarrow \hat{EDC}=\theta ,\hat{ADE}=3\theta =\hat{AED},AD=AE=m,$

Από το θεώρημα του Θαλή

$\dfrac{DE}{c}=\dfrac{b-m}{b}= \dfrac{a-k}{a}\Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{k}{m}, DE=\sqrt{m(k+m)}\dfrac{k-2m}{m} \Rightarrow k> 2m,(**),$

Απο τις γνωστές βασικές ασκήσεις

( μπορώ να κάνω τις αποδείξεις εφόσον ζητηθούν)

$\hat{ADC}=2\hat{C}\Leftrightarrow b^{2}=m^{2}+m(a-k),(1) ABC,\hat{C}=2\hat{B} \Leftrightarrow c^{2}=b^{2}+ab,(2), ABD,\hat{BAD}=3\hat{B} \Leftrightarrow c^{2}=\dfrac{k+m}{m}(k-m)^{2},(3),$

Από την προφανώς η πλευρά είναι γνωστή και απο το σύστημα

$a=\dfrac{k(k-m)}{m},b=k-m$

Κατασκευή

Το τρίγωνο κατασκευάζεται γιατί γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του

Η απόδειξη είναι απλή

Διερεύνηση

$(*),(**)\Rightarrow 2m< k< 3m$

Εφαρμογή

$k=21,m=9,a=28,b=12,c=12\sqrt{5} k=10,m=4,a=15,b=6,c=6.\sqrt{\dfrac{7}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2021 10:53 pm
Ενα δύο τρία Κατασκευή.png

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο , αν υπάρχει σημείο της πλευράς για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

Αν η μεσοκάθετη της

τέμνει την

στο

έχουμε $\angle B= \angle BAE= \theta$ και $\angle DEA= \angle EAD=2 \theta$

Άρα ED=DA=m

και

.Έτσι, το ισοσκελές τρίγωνο AED

κατασκευάζεται

O κύκλος (E,EA)

τέμνει την

στο

και ο κύκλος (A,AE)

τέμνει την

στο

Το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.Φυσικά, $k-m<2m \Rightarrow k<3m$ και $k-m>m \Rightarrow k>2m$

: ένα ,δύο ,τρία κατασκευή.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

#7

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2021 10:53 pm

Να κατασκευαστεί γεωμετρικά τρίγωνο , αν υπάρχει σημείο της πλευράς για το οποίο:

Γνωρίζουμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων , $DB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Επί πλέον δε οι γωνίες : $\widehat {{B_{}}}\,\,,\,\,\widehat {{C_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAD}$ έχουν μέτρα ανάλογα των αριθμών $\,1\,,2\,\kappa \alpha \iota \,\,3$ .

Διερεύνηση

Εφαρμογή: $k = 21\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 9\,$ ή $k = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = 4\,$

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 15, 2021 10:57 pm
.....................................

$\displaystyle{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k+m}{m}} \leq 1 \Rightarrow ....\Rightarrow k \leq 3m \ \ (6)}$

2o) Επειδή είναι: $\displaystyle{x=\pi -6\theta }$ επειδή πρέπει $\displaystyle{x \geq 0}$ άρα:

$\displaystyle{\theta \geq \frac{\pi}{6} \Rightarrow cos\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ... \Rightarrow k\geq 2m \ \ (7)}$

Άρα θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{2m<k<3m \ \ (8) }$

Η σχέση αυτή δεν περιλαμβάνει τις οριακές θέσεις των ισοτήτων των (6) και (7).

Κώστας Δόρτσιος

Αναρτώ και τις δυο περιπτώσεις του τριγώνου αυτού για τις δυο οριακές τιμές των (6) και (7):

1ο Σχήμα:
Αν είναι $\displaystyle{k=2m}$

Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με γωνίες $\displaystyle{30^o}$ και $\displaystyle{60^o}$ .

Tο σημείο $\displaystyle{D}$ ταυτίζεται με την κορυφή $\displaystyle{C}$

: Κατασκευή τριγώνου 2.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

2ο Σχήμα:

Αν είναι $\displaystyle{k=3m}$

: Κατασκευή τριγώνου 3.png (4.86 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Το τρίγωνο εκφυλίζεται σε ημιευθεία όπου η κορυφή $\displaystyle{C}$ βρίσκεται στο επ' άπειρο σημείο της ημιευθείας

που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Ένα δύο τρία κατασκευή

Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Re: Ένα δύο τρία κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση