Εντοπισμός και κατασκευή

KARKAR · #1

: Εντοπισμός.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

. Κατασκευάστε διατέμνουσα TSP

, τέτοια ώστε : TS=SP=5

.

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Το αποτέλεσμα δεν το λες και στρογγυλεμένο. Φοβάμαι μήπως έχω κάποιο λάθος στους υπολογισμούς. Το αναρτώ και θα το ξαναδώ.

: 29-10-2021 Γεωμετρία.jpg (20.56 KiB) Προβλήθηκε 1199 φορές

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Από το

φέρουμε κάθετη στην

, που την τέμνει στο

, οπότε

.

Έστω

, οπότε

, με

.
Θέσαμε

για να έχουμε σημείο τομής στον αρνητικό οριζόντιο ημιάξονα.

Έτσι, από την ομοιότητα των TKB, ABC

είναι $\displaystyle \frac{{2x}}{{8 - y}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{24 - 8x}}{3}$
και από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο SAK

είναι

$\displaystyle {x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow {x^2} + {\left( {\frac{{24 - 8x}}{3}} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow 73{x^2} - 384x + 351 = 0$

Άρα $\displaystyle x = \frac{-3 \; \sqrt{1249} + 192}{73}$

Κατασκευάσιμο (αλλά δεν φαντάζομαι να ζητούσε κάτι τέτοιο ο Θανάσης).

#3

Παρόμοιο (Σωστό είναι το αποτέλεσμά σου Γιώργο). Φέρνω TE||AB

και είναι $\displaystyle \frac{{TE}}{8} = \frac{{CT}}{{10}} \Leftrightarrow TE = PA = \frac{{4CT}}{5}$

Αν λοιπόν θέσω CT=5x

θα είναι

και $AS=\dfrac{6-3x}{2}.$

: Εντοπισμός και κατασκευή.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 1169 φορές

Με Π.Θ τώρα στο ASP,

$\displaystyle 25 = 16{x^2} + \frac{{{{(6 - 3x)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 73{x^2} - 36x - 64 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = \frac{{18 + 2\sqrt {1249} }}{{73}}}$

KARKAR · #4

: Εντοπισμός και κατασκευή.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 1159 φορές

Το ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Οι δύο κύκλοι έχουν σταθερές ακτίνες . Ο (K)

, έχει φυσικά r=2,5

, ενώ την ακτίνα

του

καλείστε να υπολογίσετε . Επιπλέον ερώτημα : Πόση είναι η υψομετρική διαφορά των δύο κέντρων ;

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 9:51 am Το ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Θα ήθελα να δω αυτή την κατασκευή.

#6

george visvikis έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 10:31 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 9:51 am Το ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Θα ήθελα να δω αυτή την κατασκευή.

Έχω μια άλλη κατασκευή χωρίς υπολογισμούς επαληθευμένη μεν, αλλά κάπου κολλάω στην απόδειξη. Θα μου πεις και πως τη βρήκες; Μάλλον από διαίσθηση .

Θα ψάξω όμως πρώτα την άποψη του KARKAR

γιατί έχει ενδιαφέρον!

Τελικά δείτε την ημετέρα κατασκευή .

Κατασκευή

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

. Γράφω:

Τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ , το ημικύκλιο του ίσου κύκλου διαμέτρου

που διέρχεται από

το

και τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο

του οποίου , $\boxed{\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{3}{{10}}}$ .

: εντοπισμός και κατασκευή_Κατασκευή_έκπληξη.png (26.75 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής του ημικυκλίου με τον πιο πάνω Απολλώνιο κύκλο .

Η ευθεία B'F

τέμνει τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ στο

. Ο κύκλος $\left( {C,F,G} \right)$ τέμνει τις πλευρές $CA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB\,$ στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Φέρνω και την ευθεία

και τέμνει την ευθεία

στο

#7

Doloros έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 11:37 am
george visvikis έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 10:31 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 9:51 am Το ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Θα ήθελα να δω αυτή την κατασκευή.
Έχω μια άλλη κατασκευή χωρίς υπολογισμούς επαληθευμένη μεν, αλλά κάπου κολλάω στην απόδειξη. Θα μου πεις και πως τη βρήκες; Μάλλον από διαίσθηση .

Θα ψάξω όμως πρώτα την άποψη του γιατί έχει ενδιαφέρον!

Τελικά δείτε την ημετέρα κατασκευή .

Κατασκευή

Ας είναι το συμμετρικό του ως προς το . Γράφω:

Τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ , το ημικύκλιο του ίσου κύκλου διαμέτρου που διέρχεται από

το και τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο του οποίου , $\boxed{\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{3}{{10}}}$ .

εντοπισμός και κατασκευή_Κατασκευή_έκπληξη.png
Ας είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου με τον πιο πάνω Απολλώνιο κύκλο .

Η ευθεία τέμνει τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ στο . Ο κύκλος $\left( {C,F,G} \right)$ τέμνει τις πλευρές $CA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB\,$ στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Φέρνω και την ευθεία και τέμνει την ευθεία στο

Πολύ ωραία κατασκευή Νίκο

#8

george visvikis έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 5:21 pm
Doloros έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 11:37 am
george visvikis έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 10:31 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 9:51 am Το ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Θα ήθελα να δω αυτή την κατασκευή.
Έχω μια άλλη κατασκευή χωρίς υπολογισμούς επαληθευμένη μεν, αλλά κάπου κολλάω στην απόδειξη. Θα μου πεις και πως τη βρήκες; Μάλλον από διαίσθηση .

Θα ψάξω όμως πρώτα την άποψη του γιατί έχει ενδιαφέρον!

Τελικά δείτε την ημετέρα κατασκευή .

Κατασκευή

Ας είναι το συμμετρικό του ως προς το . Γράφω:

Τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ , το ημικύκλιο του ίσου κύκλου διαμέτρου που διέρχεται από

το και τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο του οποίου , $\boxed{\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{3}{{10}}}$ .

εντοπισμός και κατασκευή_Κατασκευή_έκπληξη.png
Ας είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου με τον πιο πάνω Απολλώνιο κύκλο .

Η ευθεία τέμνει τον κύκλο $\left( {C,5} \right)$ στο . Ο κύκλος $\left( {C,F,G} \right)$ τέμνει τις πλευρές $CA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB\,$ στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Φέρνω και την ευθεία και τέμνει την ευθεία στο
Πολύ ωραία κατασκευή Νίκο

Γιώργο σ ευχαριστώ πολύ . Και του Θανάση η άποψη πάντως είναι ωραία . Έχω πλήρη λύση για την κατασκευή που υπονοεί (Ανάλυση , κατασκευή) και θα την ανεβάσω λίγο αργότερα .

#9

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 29, 2021 7:32 pm Εντοπισμός.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Κατασκευάστε διατέμνουσα , τέτοια ώστε : .

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα . γράφω τους κύκλους $\left( {A,S,P} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,S,T} \right)$ και έστω

το άλλο κοινό τους σημείο .

Επειδή $\boxed{\frac{{SA}}{{TB}} = \frac{3}{{10}}}$ ( δείτε σχήμα) και $\widehat {BFC} = 90^\circ$ το

είναι σταθερό σημείο και

προσδιορίζεται από την τομή του κύκλου διαμέτρου

και τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο

του οποίου : $\boxed{\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{3}{{10}}}$ .

: εντοπισμός_KARKAR_ και κατασκευή_Ανάλυση.png (32.79 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

Αν

το σημείο τομής του

με τον κύκλο $\left( {C,S,T} \right)$ και

το αντιδιαμετρικό του

, σ αυτόν τον κύκλο θα είναι : $\vartriangle TES \approx \vartriangle ZTB$ (

είναι η προβολή του

στην

)

Δηλαδή $\vartriangle TES \to \left( {3m,5m,4m = 5} \right)\,,\,m > 0 \Rightarrow \boxed{m = \frac{5}{4}}$ και άρα $\boxed{ES = CH = 2R = \dfrac{{25}}{4} = 6,25}$ .

Κατασκευή

: εντοπισμός_KARKAR_ και κατασκευή_Κατασκευή.png (33.63 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

και ο Απολλώνιος κύκλος ( για κάθε σημείο του οποίου ο λόγος των αποστάσεων του από τα A,B

είναι $\dfrac{3}{{10}}$ ) τέμνονται στο

.

Ο κύκλος $\left( {C,\dfrac{{25}}{4}} \right)$ τέμνει την

στο

. Ο κύκλος $\left( {C,F,H} \right)$ τέμνει τις $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ . Η ευθεία

είναι η τέμνουσα που θέλω.

#10

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 30, 2021 9:51 am Εντοπισμός και κατασκευή.pngΤο ερώτημα αν γίνεται κατασκευή χωρίς να προηγηθεί υπολογισμός , η απάντηση είναι "μάλλον" θετική .

Οι δύο κύκλοι έχουν σταθερές ακτίνες . Ο , έχει φυσικά , ενώ την ακτίνα του

καλείστε να υπολογίσετε . Επιπλέον ερώτημα : Πόση είναι η υψομετρική διαφορά των δύο κέντρων ;

: Εντοπισμός και κατασκευή.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

$\displaystyle ST = 2R\sin C \Leftrightarrow 5 = 2R\frac{4}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{R=\dfrac{25}{8}}$

Έστω

η διάμετρος του κύκλου (O)

και

τα μέσα των AC, AD

αντίστοιχα. Τότε ON=MA=3.

Αλλά,

ως διάμεσος του τραπεζίου SDAP.

Άρα η υψομετρική διαφορά των δύο κέντρων είναι

Εντοπισμός και κατασκευή

Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Re: Εντοπισμός και κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση