Καθετότητα από τον Steiner

#1

: Καθετότητα από τον Steiner.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο και περίκεντρο και ας το ίχνος του ύψους από το και το σημείο τομής της καθέτου επί την στο με την ευθεία . Να δειχθεί ότι $MD\bot HK$ , όπου το μέσο της

#2

Επαναφορά

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 19, 2021 11:26 amΈστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο και περίκεντρο και ας το ίχνος του ύψους από το και το σημείο τομής της καθέτου επί την στο με την ευθεία . Να δειχθεί ότι $MD\bot HK$ , όπου το μέσο της

Ας δούμε μία κομψή απόδειξη από το διαδίκτυο.

: Καθετότητα από τον Steiner.; f=178 t=70538.PNG (17.54 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

$\bullet$ Έστω το σημείο $F\equiv (O)\cap AD$ και έχουμε ως γνωστό $DF = DH\ \ \ ,(1)$

Έστω το σημείο $L\equiv BF\cap KD$ και από $AF\perp BC$ και $OD\perp KL$ , σύμφωνα με το Θεώρημα Πεταλούδας, ισχύει $DK = DL\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο HKFL

είναι παραλλήλόγραμμο και άρα έχουμε $\angle FHK = \angle AFB = \angle C\ \ \ ,(3)$

Από (3)

και $DP\perp HK$ με $P\in HK$ προκύπτει $\angle HDP = 90^{o} - \angle FHK = 90^{o} - \angle C = \angle DAC\ \ \ ,(4)$ λόγω της (3)

Από

στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle DAC$ , συμπεραίνεται ότι η ευθεία $DP\perp HK$ περνάει από το μέσον

της

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας

ΥΓ. Η ως άνω απόδειξη οφείλεται στον Jean-Louis AYME. Παρουσιάζεται εδώ ως μετάφραση-διασκευή αυτής που έχει δημοσιευτεί στην ιστοσελίδα του.

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... teiner.pdf

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 19, 2021 11:26 am Καθετότητα από τον Steiner.png
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο και περίκεντρο και ας το ίχνος του ύψους από το και το σημείο τομής της καθέτου επί την στο με την ευθεία . Να δειχθεί ότι $MD\bot HK$ , όπου το μέσο της

Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος

: Καθετότητα από τον Steiner.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Έστω

οι ορθές προβολές των O,M

στην

και

οι ορθές προβολές των D,O

στις

αντίστοιχα. Προφανώς με

το μέσο της $AC\Rightarrow AD=2DN:\left( 1 \right)$ και $OM\bot AC$ καθώς και $LD\overset{OLDT\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o}{\mathop{=}}\,OT=\dfrac{AH}{2}:\left( 2 \right)$ γνωστή πρόταση. Τότε από $OD\bot DK$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $\dfrac{LD}{MS}=\dfrac{AK}{AD}\overset{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\dfrac{AH}{2}}{MS}=\dfrac{AK}{2ND}\Rightarrow \dfrac{ND}{MS}=\dfrac{AK}{AH}:\left( 3 \right)$
Από την $\left( 3 \right)$ σύμφωνα με το αντίστροφο του ως άνω θεωρήματος προκύπτει ότι $MD\bot KH$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Δεκ 17, 2021 2:14 pmΈστω οι ορθές προβολές των στην και οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα. Προφανώς με το μέσο της $AC\Rightarrow AD=2DN:\left( 1 \right)$ και $OM\bot AC$ καθώς και $LD\overset{OLDT\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o}{\mathop{=}}\,OT=\dfrac{AH}{2}:\left( 2 \right)$ γνωστή πρόταση. Τότε από $OD\bot DK$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $\dfrac{LD}{MS}=\dfrac{AK}{AD}\overset{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\dfrac{AH}{2}}{MS}=\dfrac{AK}{2ND}\Rightarrow \dfrac{ND}{MS}=\dfrac{AK}{AH}:\left( 3 \right)$
Από την $\left( 3 \right)$ σύμφωνα με το αντίστροφο του ως άνω θεωρήματος προκύπτει ότι $MD\bot KH$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Πως να δεις τέτοια εφαρμογή του Θεωρήματος Κούτρα ;

Σπας την κούτρα σου, αλλά δεν είσαι ο Κούτρας.

Κώστας Βήττας.

Καθετότητα από τον Steiner

Καθετότητα από τον Steiner

Re: Καθετότητα από τον Steiner

Re: Καθετότητα από τον Steiner

Re: Καθετότητα από τον Steiner

Re: Καθετότητα από τον Steiner

Μέλη σε σύνδεση