Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4348
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm

Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png (7.97 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
1) Έστω K,L οι ορθές προβολές του μέσου M της BC στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC . Να δειχθεί ότι AD\bot KL όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
2) Έστω F το συμμετρικό του B ως προς το A και E το σημείο τομής των καθέτων στην AF,AC στα σημεία F,C αντίστοιχα σε τρίγωνο \vartriangle ABC . Να δείξετε ότι AE\bot AD , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
3) Έστω E,C τα σημεία τομής των καθέτων από τα B,C στις κάθετες επί των AC,AB στην κορυφή A τριγώνου \vartriangle ABC αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AD\bot EF , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
4) Έστω \vartriangle ABC περιγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) , κέντρου O και AD η A- συμμετροδιάμεσός του. Αν X είναι το σημείο τομής της εκ του D παραλλήλου προς την OA με το ύψος AE του τριγώνου, να δείξετε ότι AD\bot OX

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις :lol: αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω" :lol: :lol: :D
Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2194
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Νοέμ 23, 2021 5:46 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω K,L οι ορθές προβολές του μέσου M της BC στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC . Να δειχθεί ότι AD\bot KL όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png
2) Έστω F το συμμετρικό του B ως προς το A και E το σημείο τομής των καθέτων στην AF,AC στα σημεία F,C αντίστοιχα σε τρίγωνο \vartriangle ABC . Να δείξετε ότι AE\bot AD , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω E,C τα σημεία τομής των καθέτων από τα B,C στις κάθετες επί των AC,AB στην κορυφή A τριγώνου \vartriangle ABC αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AD\bot EF , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
4) Έστω \vartriangle ABC περιγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) , κέντρου O και AD η A- συμμετροδιάμεσός του. Αν X είναι το σημείο τομής της εκ του D παραλλήλου προς την OA με το ύψος AE του τριγώνου, να δείξετε ότι AD\bot OX

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις :lol: αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω" :lol: :lol: :D
Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ
1. Προφανώς είναι \hat{BAD}=\hat{MAC}=\omega , και από το εγγράψιμο τετράπλευρο AKML,\hat{MAL}=\hat{MKL}=\omega Οπότε \hat{KAD}=\hat{JKT},\hat{JKA}=90^{0}\Rightarrow KT\perp AD
Συνημμένα
Kαθετότητες και συμμετροδιάμεσος   1.png
Kαθετότητες και συμμετροδιάμεσος 1.png (47.27 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2194
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Νοέμ 23, 2021 6:16 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω K,L οι ορθές προβολές του μέσου M της BC στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC . Να δειχθεί ότι AD\bot KL όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png
2) Έστω F το συμμετρικό του B ως προς το A και E το σημείο τομής των καθέτων στην AF,AC στα σημεία F,C αντίστοιχα σε τρίγωνο \vartriangle ABC . Να δείξετε ότι AE\bot AD , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω E,C τα σημεία τομής των καθέτων από τα B,C στις κάθετες επί των AC,AB στην κορυφή A τριγώνου \vartriangle ABC αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AD\bot EF , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
4) Έστω \vartriangle ABC περιγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) , κέντρου O και AD η A- συμμετροδιάμεσός του. Αν X είναι το σημείο τομής της εκ του D παραλλήλου προς την OA με το ύψος AE του τριγώνου, να δείξετε ότι AD\bot OX

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις :lol: αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω" :lol: :lol: :D
Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ
2. Προφανώς απο τις γωνίες είναι \hat{BAD}=\hat{MAC}=\theta ,

και απο το εγγράψιμο τετράπλευρο

AFEC,\hat{CAE}=\hat{CFE}=\omega ,\hat{FAE}=\hat{FCE}=

        \phi , AB=BF,BM=MC\Rightarrow AM//FC,

Οπότε \theta +\hat{DAM}=90-\omega \Leftrightarrow \hat{DAM}+\omega +\theta =90\Leftrightarrow \hat{DAE}=90^{0}
Συνημμένα
Kαθετότητες και συμμετροδιάμεσος  2.png
Kαθετότητες και συμμετροδιάμεσος 2.png (63.73 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 23, 2021 6:27 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω K,L οι ορθές προβολές του μέσου M της BC στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC . Να δειχθεί ότι AD\bot KL όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Για το πρώτο ερώτημα.
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
Από το εγγράψιμο AKML οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και από τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου και οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες. Άρα: \displaystyle \angle AKS = \angle AKL = \angle AML = 90^\circ  - \angle MAL = 90^\circ  - \angle KAD \Leftrightarrow AD \bot KL

Ίδια λύση με τον Γιάννη. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 23, 2021 7:45 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω E,C τα σημεία τομής των καθέτων από τα B,C στις κάθετες επί των AC,AB στην κορυφή A τριγώνου \vartriangle ABC αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AD\bot EF , όπου AD η A- συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Οι EB, FC τέμνονται στο S. Προφανώς το ABSC είναι παραλληλόγραμμο, άρα M είναι το μέσο του BC. Λόγω των παραλληλιών οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες με την \angle A, οπότε:

\displaystyle \angle EAD = \angle EAB + \angle BAD = \angle CAF + \angle MAC = \angle MAF \Rightarrow \boxed{\angle EAS=\angle DAF}
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.3.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.3.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Από το εγγράψιμο AESF είναι \angle ASE = \angle AFE \Leftrightarrow 90^\circ  - \angle EAS = 90^\circ  - \angle DAF = \angle AFE και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 24, 2021 10:06 am

Για την 4η περίπτωση .

Πάμε σιγά σιγά.

Έστω \vartriangle ABC και ο περιγεγραμμένος του κύκλος κέντρου O. Η εφαπτομένη στο A τέμνει την BC στο σημείο S.

Από το A φέρνω κάθετη στην OS και τέμνει την BC στο D. Ας είναι T η προβολή του D στην AS και X το σημείο τομής των OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT.

Προφανώς το X είναι ορθόκεντρο του \vartriangle ASD κι έτσι AX \bot BC, έστω στο σημείο E. Ας είναι ακόμα M,N τα μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC
Καθετότητα σε συμμετροδιάμεσο _4_Περίπτωση.png
Καθετότητα σε συμμετροδιάμεσο _4_Περίπτωση.png (33.29 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Αβίαστα προκύπτουν τώρα τα παρακάτω:

\overline {DXT} //OA\,,\,\,\left( {A,S,M,O} \right) ομοκυκλικά, \widehat {ABC} = \widehat {AON} \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {OAN} ( κόκκινες )

Λόγω του εγγραψίμου τετράπλευρου ASMO και του ορθοκέντρου X, \widehat {DAE} = \widehat {XSD} = \widehat {MAO}(κίτρινες).

Δηλαδή : \boxed{\widehat {BAD} = \widehat {MAC}} ( κάθε μια, άθροισμα μιας κόκκινης και μιας κίτρινης γωνίας).Συνεπώς η AD είναι η συμετροδιάμεσος από το A στο \vartriangle ABC.

Το ισοδύναμο πρόβλημα έχει απαντηθεί .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4348
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 25, 2021 6:10 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
4) Έστω \vartriangle ABC περιγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) , κέντρου O και AD η A- συμμετροδιάμεσός του. Αν X είναι το σημείο τομής της εκ του D παραλλήλου προς την OA με το ύψος AE του τριγώνου, να δείξετε ότι AD\bot OX
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png (25.02 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Έστω K το ίχνος της καθέτου από το D στην AO . Τότε τα τρίγωνα \vartriangle AXD,\vartriangle AOM είναι όμοια ( \angle XAD=\angle OAM (διαφορά ίσων γωνιών) και \angle AXD=\angle AOM (παράλληλες πλευρές του ίδιο προσανατολισμού) όπως επίσης όμοια είναι και τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle AEM,\vartriangle AKD (από μια οξεία γωνία ίση (άθροισμα ίσων γωνιών) . Από τις ως άνω ομοιότητες έχουμε: \dfrac{AK}{AE}\overset{\vartriangle AKD\sim \vartriangle AEM}{\mathop{=}}\,\dfrac{AD}{AM}\overset{\vartriangle AXD\sim \vartriangle AOM}{\mathop{=}}\,\dfrac{AX}{AO}:\left( 1 \right)
Από τη σχέση \left( 1 \right) σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι AD\bot OX και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση: Και όλα τα υπόλοιπα προβλήματα αποδεικνύονται με το ως άνω θεώρημα αλλά για τα πρώτα 3 νομίζω δεν συμφέρει


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες