Εμβαδόν εκ προμελέτης
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Εμβαδόν εκ προμελέτης
Επί της κινείται σημείο , ώστε οι να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .
Η προέκταση της τέμνει την ευθεία στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;
Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; ( : για έρευνα )
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης
Για την διερεύνηση του προβλήματος στην ύπαρξη συνάρτησης που δίνει το πιο πάνω εμβαδόνKARKAR έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 7:13 pmΕμβαδόν εκ προμελέτης.pngΗ ευθεία είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , ενός ημικυκλίου , σε απόσταση από αυτήν .
Επί της κινείται σημείο , ώστε οι να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .
Η προέκταση της τέμνει την ευθεία στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;
Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; ( : για έρευνα )
Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με και την ευθεία με εξίσωση στην οποία κινούνται τα και έστω με και ας είναι
i) . Τότε και , οπότε λόγω καθετότητας (από το ημικύκλιο) θα είναι και . Έτσι έχουμε τις εξισώσεις των ευθειών: και
Το σύστημα των εξισώσεων δίνει τις συντεταγμένες του και το σύστημα των εξισώσεων δίνει τις συντεταγμένες του σημείου . Βρίσκουμε σχετικά εύκολα … και , όπου βέβαια και .
Αν (επειδή ανήκει στην ευθεία με εξίσωση ) τότε (από την συνευεθειακότητα των οπότε από την θα έχουμε:
, από όπου βρίσκουμε το (οι πράξεις αφήνονται για αυτούς που δεν έχουν «δουλειές» )
Για το εμβαδόν του εν λόγω τριγώνου έχουμε: που είναι και η συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν, η μελέτη της οποίας φυσικά αφήνεται προς λογιστική ταλαιπωρία
ii) Για τις περιπτώσεις η τιμή του εμβαδού είναι συγκεκριμένη
Για την ειδική περίπτωση του προβλήματος που προκύπτει ότι και
Η περίπτωση αυτή φαίνεται να αντιμετωπίζεται και με Ευκλείδεια γεωμετρία αφού αποδεικνύεται ότι στη περίπτωση αυτή (η απόδειξη (με ευκλείδεια γεωμετρία) αφήνεται στον αναγνώστη και έχει ενδιαφέρον.
Σημείωση : Το σχήμα εμφανίζεται στην ειδική περίπτωση όπου μάλιστα ή
Την παραπάνω λύση (έστω και "κουτσή" ) αφιερώνω στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο και πιστεύω να του αρέσει
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης
Τον αγαπητό Στάθη ευχαριστώ θερμά για την αφιέρωση. Χαρά στο κουράγιο του!ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 07, 2021 3:51 pm
Την παραπάνω λύση (έστω και "κουτσή" ) αφιερώνω στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο και πιστεύω να του αρέσει
Δεν αναζήτησα άλλη προσέγγιση στο θέμα αυτό. Μόνο με το λογισμικό κάποιες επισημάνσεις:
Τιμή έχουμε όταν το είναι στην κορυφή του κύκλου. Τότε .
Η συνάρτηση του εμβαδού είναι γνησίως αύξουσα στο . Οπότε η τιμή αυτή είναι μοναδική.
Κρατώ το θέμα, για κάποια περίοδο που δεν θα είναι τόσο (μα τόσο) πιεσμένο το καθημερινό πρόγραμμά μου.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης
Ας δούμε και την γεωμετρική λύση του προβλήματος που έχει τεθεί (για ) τώρα που δεν έχουμε ακόμα δουλειές.KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 7:13 pmΕμβαδόν εκ προμελέτης.pngΗ ευθεία είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , ενός ημικυκλίου , σε απόσταση από αυτήν .
Επί της κινείται σημείο , ώστε οι να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .
Η προέκταση της τέμνει την ευθεία στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;
Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; ( : για έρευνα )
Για τη συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν τα είπαμε
Έστω το κέντρο του ημικυκλίου και οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα. Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και συνεπώς ο λόγος των υψών του θα ισούται με τον λόγο των ομολόγων βάσεών του. Ετσι θα έχουμε:
Από
Έστω ότι η τέμνει τον περίκυκλο στο σημείο . Τότε από το Θεώρημα των τεμνομένων χορδών θα ισχύει: Από το εγγράψιμο τετράπλευρο στον ως άνω κύκλο προκύπτει ότι και επειδή το είναι ισοσκελές θα είναι ισοσκελές και το . Έτσι αν το μέσο της . Αν τότε είναι (από την εκφώνηση) και . Από προκύπτει (λόγω της καθετότητας και της ισότητας) ότι και συνεπώς η μεταβλητή χορδή του εν λόγω κύκλου θα πάρει τη θέση της χορδής , άρα το θα πάρει τη θέση του μέσου του ημικυκλίου και το θα είναι το σημείο τομής της με την παραλληλη ευθεία προς την σε απόσταση από αυτή και έτσι η θέση του για να ισχύει έχει προσδιοριστεί.
Οι κόκκινες θέσεις είναι οι ζητούμενες...
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες