Λογοδοσμένο τμήμα

KARKAR · #1

: Λογοδοσμένο τμήμα.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

Σημείο

κινείται στην - μήκους

- πλευρά

, ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, ώστε :

$BS=\lambda a , \dfrac{1}{2}<\lambda<1$ . Φέρω $BD \perp AS$ . Η προέκταση της

τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

( συναρτήσει των $\lambda , a$ ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 1:20 pm
Λογοδοσμένο τμήμα.pngΣημείο κινείται στην - μήκους - πλευρά , ισοπλεύρου τριγώνου , ώστε :

$BS=\lambda a , \dfrac{1}{2}<\lambda<1$ . Φέρω $BD \perp AS$ . Η προέκταση της τέμνει την

στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ( συναρτήσει των $\lambda , a$ ) .

Αν

είναι το μέσο της

τότε προφανώς τα A,D,M,B

είναι σημεία κύκλου διαμέτρου

(λόγω των ορθών γωνιών) και από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών έχουμε: $SD\cdot SA=SM\cdot SB=\left( \lambda a-\dfrac{a}{2} \right)\cdot \lambda a=\dfrac{{{a}^{2}}\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2}:\left( 1 \right)$
Από το Θεώρημα Stewart θα έχουμε: $S{{A}^{2}}=\dfrac{BS\cdot A{{C}^{2}}+SC\cdot A{{B}^{2}}-BS\cdot SC\cdot BC}{BC}\Rightarrow$
$S{{A}^{2}}=\dfrac{\lambda a\cdot {{a}^{2}}+a\left( 1-\lambda \right)\cdot {{a}^{2}}-\lambda a\cdot a\left( 1-\lambda \right)\cdot a}{a}\Rightarrow SA=a\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}$

: Λογοδεσμένος.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές

Οπότε από την $\left( 1 \right)$ έχουμε: $SD=\dfrac{a\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}}$ και $AD=SA-SD=a\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}-\dfrac{a\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}}=\ldots \dfrac{\left( 2-\lambda \right)a}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}}$ και άρα
$\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{2-\lambda }{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}:\left( 2 \right)$
Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle ABD$ με διατέμνουσα την TDC

θα έχουμε: $\dfrac{TB}{TA}\cdot \dfrac{AD}{SD}\cdot \dfrac{CS}{CB}=1\overset{TB=x}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{x}{a-x}\cdot \dfrac{2-\lambda }{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\cdot \dfrac{a\left( 1-\lambda \right)}{a}=1\Rightarrow$
$\dfrac{a-x}{x}=\dfrac{\left( 2-\lambda \right)\cdot \left( 1-\lambda \right)}{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\overset{TB=x}{\mathop{\Rightarrow }}\, \dfrac{a}{x}=1+\dfrac{\left( 2-\lambda \right)\cdot \left( 1-\lambda \right)}{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\Rightarrow$
$\ldots x=\dfrac{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{3{{\lambda }^{2}}-4\lambda +2}\cdot a$ , αν δεν έχω κάνει λάθος σε πράξεις

Λογοδοσμένο τμήμα

Λογοδοσμένο τμήμα

Re: Λογοδοσμένο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση