Λογοδοσμένο τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λογοδοσμένο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 04, 2021 1:20 pm

Λογοδοσμένο  τμήμα.png
Λογοδοσμένο τμήμα.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές
Σημείο S κινείται στην - μήκους a - πλευρά BC , ισοπλεύρου τριγώνου ABC , ώστε :

BS=\lambda a , \dfrac{1}{2}<\lambda<1 . Φέρω BD \perp AS . Η προέκταση της CD τέμνει την AB

στο σημείο T . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος BT ( συναρτήσει των \lambda , a ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Λογοδοσμένο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 2:21 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 1:20 pm
Λογοδοσμένο τμήμα.pngΣημείο S κινείται στην - μήκους a - πλευρά BC , ισοπλεύρου τριγώνου ABC , ώστε :

BS=\lambda a , \dfrac{1}{2}<\lambda<1 . Φέρω BD \perp AS . Η προέκταση της CD τέμνει την AB

στο σημείο T . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος BT ( συναρτήσει των \lambda , a ) .
Αν M είναι το μέσο της BC τότε προφανώς τα A,D,M,B είναι σημεία κύκλου διαμέτρου AB (λόγω των ορθών γωνιών) και από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών έχουμε: SD\cdot SA=SM\cdot SB=\left( \lambda a-\dfrac{a}{2} \right)\cdot \lambda a=\dfrac{{{a}^{2}}\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2}:\left( 1 \right)
Από το Θεώρημα Stewart θα έχουμε: S{{A}^{2}}=\dfrac{BS\cdot A{{C}^{2}}+SC\cdot A{{B}^{2}}-BS\cdot SC\cdot BC}{BC}\Rightarrow
S{{A}^{2}}=\dfrac{\lambda a\cdot {{a}^{2}}+a\left( 1-\lambda  \right)\cdot {{a}^{2}}-\lambda a\cdot a\left( 1-\lambda  \right)\cdot a}{a}\Rightarrow SA=a\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}
Λογοδεσμένος.png
Λογοδεσμένος.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Οπότε από την \left( 1 \right) έχουμε: SD=\dfrac{a\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}} και AD=SA-SD=a\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}-\dfrac{a\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}}=\ldots \dfrac{\left( 2-\lambda  \right)a}{2\sqrt{{{\lambda }^{2}}-\lambda +1}} και άρα
\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{2-\lambda }{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}:\left( 2 \right)
Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle ABD με διατέμνουσα την TDC θα έχουμε: \dfrac{TB}{TA}\cdot \dfrac{AD}{SD}\cdot \dfrac{CS}{CB}=1\overset{TB=x}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{x}{a-x}\cdot \dfrac{2-\lambda }{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\cdot \dfrac{a\left( 1-\lambda  \right)}{a}=1\Rightarrow
\dfrac{a-x}{x}=\dfrac{\left( 2-\lambda  \right)\cdot \left( 1-\lambda  \right)}{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\overset{TB=x}{\mathop{\Rightarrow }}\, 
\dfrac{a}{x}=1+\dfrac{\left( 2-\lambda  \right)\cdot \left( 1-\lambda  \right)}{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}\Rightarrow
\ldots x=\dfrac{\lambda \left( 2\lambda -1 \right)}{3{{\lambda }^{2}}-4\lambda +2}\cdot a , αν δεν έχω κάνει λάθος σε πράξεις


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες