Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13566
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 05, 2021 8:51 am

Παραλληλία  από επαφή και διχοτόμηση.png
Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Μπορούμε να εντοπίσουμε σημείο S στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST και την διχοτόμο SP της \widehat{TSA} , να προκύψει : PT \parallel AB ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4477
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Δεκ 05, 2021 12:25 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 05, 2021 8:51 am
Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.pngΜπορούμε να εντοπίσουμε σημείο S στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST και την διχοτόμο SP της \widehat{TSA} , να προκύψει : PT \parallel AB ;
Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png
Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Ας είναι D η ορθή προβολή του T επί την AB . Από τη διχοτόμο και την παραλληλία προφανώς είναι TP=TS=2x και προφανώς OD=\dfrac{PT}{2}=x
Στο ορθογώνιο τρίγωνο (λόγω επαφής) \vartriangle OTS\Rightarrow O{{T}^{2}}=OD\cdot OS\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{R}^{2}}=x\cdot \sqrt{4{{x}^{2}}+{{R}^{2}}}\Leftrightarrow
{{R}^{4}}={{x}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}+{{R}^{2}} \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}+{{R}^{2}}{{x}^{2}}-{{R}^{4}}=0:\left( 1 \right)
Από την διτετράγωνη εξίσωση \left( 1 \right) προκύπτει \ldots {{x}^{2}}=\dfrac{{{R}^{2}}\left( \sqrt{17}-1 \right)}{8}\Rightarrow x=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}} και συνεπώς το S προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της εφαπτόμενης στο T που ορίζεται ως το σημείο τομής της κάθετης στην AB στο σημείο D με το ημικύκλιο για το οποίο είναι OD=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8687
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 06, 2021 3:10 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 05, 2021 8:51 am
Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.pngΜπορούμε να εντοπίσουμε σημείο S στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST και την διχοτόμο SP της \widehat{TSA} , να προκύψει : PT \parallel AB ;
Ας είναι K η προβολή του T στην διάμετρο. Η τετράδα , \left( {A,B\backslash K,S} \right) είναι αρμονική.

Θέτω: OA = R,\,\,OK = m,\,\,BS = x. Θα είναι έτσι PT = TS = 2m.

Από την αρμονική αναλογία και τη δύναμη του σημείου S έχω ταυτόχρονα .
.
παραλληλία απο επαφή και διχοτόμηση.png
παραλληλία απο επαφή και διχοτόμηση.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
.
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{k} = \frac{{3R + x}}{{2R - k}} \hfill \\ 
  4{m^2} = x\left( {2R + x} \right) \hfill \\ 
  m = R - k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{{Rx}}{{R + x}} \hfill \\ 
  4{\left( {R - k} \right)^2} = x\left( {2R + x} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. διαγράφω το k και προκύπτει :

{x^4} + 4R{x^3} + 5{R^2}{x^2} + 2{R^3}x - 4{R^4} = 0, με μια δεκτή ρίζα : \boxed{x = R\left( {\sqrt {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}  - 1} \right)}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 06, 2021 1:02 pm

Κάτι παρόμοιο με τον Στάθη. Αν OD=x τότε PT=TS=2x.
παραλληλία  από επαφή και διχοτόμηση.png
παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
\displaystyle \frac{{SD}}{{OD}} = \frac{{T{S^2}}}{{O{T^2}}} \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{4{x^2}}}{{{R^2}}} (1)

\displaystyle S{T^2} = SD(SD + x) \Leftrightarrow S{D^2} + xSD - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{x = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}} }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8687
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 06, 2021 1:09 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Δεκ 06, 2021 1:02 pm
Κάτι παρόμοιο με τον Στάθη. Αν OD=x τότε PT=TS=2x. παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png
\displaystyle \frac{{SD}}{{OD}} = \frac{{T{S^2}}}{{O{T^2}}} \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{4{x^2}}}{{{R^2}}} (1)

\displaystyle S{T^2} = SD(SD + x) \Leftrightarrow S{D^2} + xSD - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{x = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}} }
:clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης