Ώρα εφαπτομένης 119

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 119.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Τα τρία έγχρωμα τρίγωνα είναι ίσα ορθογώνια , με : AB=BC=CD

.

Η

τέμνει την

, στο

. Αν : $\dfrac{OS}{SB}=\dfrac{13}{6}$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 20, 2021 12:23 pm Ώρα εφαπτομένης 119.pngΤα τρία έγχρωμα τρίγωνα είναι ίσα ορθογώνια , με : .

Η τέμνει την , στο . Αν : $\dfrac{OS}{SB}=\dfrac{13}{6}$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

η τομή των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OC$ .

Θέτω : $AB = BC = 3k\,\,,\,\,BS = 6m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SO = 13m\,$ με m,k > 0

. Άμεσες συνέπειες :

$ST = 13t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD = 19t\,\,,t > 0$ ( θ. διχοτόμων στο $\vartriangle OSD$ ) .

Αλλά η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle CAD$ και αφού
$AC = 2CD \Rightarrow AT = 2DT \Rightarrow AS + 13t = 2 \cdot 19t \Rightarrow \boxed{AS = 25t}$ .
.

: Ώρα εφαπτομένης 119.png (22.04 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

.
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : $BAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZDS$ προκύπτουν εύκολα :

$\left\{ \begin{gathered} ZD = \frac{{96}}{{25}}k \hfill \\ ZS = \frac{{192}}{{25}}m \hfill \\ OZ = \frac{{133}}{{25}}m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Από το Π .Θ. στο $\vartriangle ZOD$ προκύπτει : $\dfrac{m}{k} = \dfrac{4}{{19}} \Rightarrow 19m = 4k = OD = OB$ και άρα $\boxed{\tan \theta = \dfrac{3}{4}}$ .

abgd · #3

: tanθ.png (114.58 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Στο παραπάνω σχήμα είναι:

$\displaystyle{tan\theta=\frac{a}{19x}\Rightarrow \bf\frac{a}{x}=19tan\bf \theta \ \ (1)}$

$\displaystyle{\frac{SD}{SA}=\frac{BE}{AB} \Rightarrow ....\Rightarrow SD^2=4cos^2\theta\left(a^2+36x^2\right)}$

Από την $\displaystyle{\bf(1)}$ και με τη βοήθεια του τύπου $\displaystyle{\bf {tan^2\theta =\frac{1}{cos^2\theta}-1}}}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\bf SD^2=4x^2\left(361cos^2\theta-325cos^4\theta \right)\bf(2)}$

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{DOS}$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\bf SD^2= 4x^2\left(256-247cos^2\theta\right) \ \ (3)}$

Οι ισότητες $\displaystyle{\bf (2),(3)}$ μας δίνουν την εξίσωση:

$\displaystyle{\boxed{\color{red}325cos^4\theta-608cos^2\theta+256 = 0}}$

Με πράξεις βρίσκουμε το $\displaystyle{cos^2\theta}$ και κατόπιν το $\displaystyle{\boxed{\bf{tan \theta = \frac{3}{4}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 20, 2021 12:23 pm Ώρα εφαπτομένης 119.pngΤα τρία έγχρωμα τρίγωνα είναι ίσα ορθογώνια , με : .

Η τέμνει την , στο . Αν : $\dfrac{OS}{SB}=\dfrac{13}{6}$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Ο Μενέλαος στο τρίγωνο OBC

με διατέμνουσα ZSA

δίνει $\dfrac{CZ}{ZO}= \dfrac{12}{13} \Rightarrow ZO= \dfrac{13}{25}OC= \dfrac{13}{25}OA$

Ισχύει $\dfrac{AZ}{ZD}= \dfrac{(OAC)}{(OCD)}=2$ και με

συμμετρικό του

ως προς

,το

είναι κ.βάρους του $\triangle OAP$ ,άρα $ED=// \dfrac{OA}{2}$

Στο τρίγωνο OED

ισχύει η γνωστή σχέση

$OD^2=ED^2+ED.OE \Rightarrow OB^2= \dfrac{OA^2}{4}+ \dfrac{OA}{2}. \dfrac{3}{2}OZ=\dfrac{OA^2}{4}+ \dfrac{OA}{2}. \dfrac{3}{2 } . \dfrac{13}{25} OA$

Άρα $( \dfrac{OB}{OA}) ^2= \dfrac{64}{100} \Rightarrow cos^2 \theta =\dfrac{64}{100}$ οπότε εύκολα $tan \theta = \dfrac{3}{4}$

: ώρα εφαπτομένης 119.png (71.85 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Ώρα εφαπτομένης 119

Ώρα εφαπτομένης 119

Re: Ώρα εφαπτομένης 119

Re: Ώρα εφαπτομένης 119

Re: Ώρα εφαπτομένης 119

Μέλη σε σύνδεση