Υπόγειο γινόμενο

KARKAR · #1

: Υπόγειο γινόμενο.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Η διχοτόμος

του τριγώνου ABC

, με

,

τέμνει τον περίκυκλό του , στο σημείο

. Υπολογίστε το γινόμενο : $SB\cdot SD$

#2

Εύχομαι σε όλους: Ας είναι καλύτερη η χρονιά που έρχεται!

: 31-12-2021 Γεωμετρία.jpg (24.31 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Από Θ. Διχοτόμων, $\displaystyle \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}} \Leftrightarrow BD = 3$

Ως γνωστόν, το

είναι ο Νότιος Πόλος του κύκλου.
Φέρνουμε

κάθετη στη

, οπότε

. Οπότε $\displaystyle DK = BK - BD = 1$

Είναι $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \sqrt {10 \cdot 2,5 \cdot 5,5 \cdot 2} = 5\sqrt {11}$ , οπότε $\displaystyle AE = \frac{{5\sqrt {11} }}{4}$

Από Ν. Συνημιτόνων στο ABC

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{{4,5}^2} + {8^2} - {{7,5}^2}}}{{2 \cdot 4,5 \cdot 8}} = \frac{7}{{18}}$ ,

οπότε στο ABE

είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{4,5}} = \frac{7}{{18}} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = \frac{7}{4}$ , άρα $\displaystyle ED = 3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$

Από την ομοιότητα των AED, DSK

είναι $\displaystyle \frac{{SK}}{{AE}} = \frac{{DK}}{{ED}} \Leftrightarrow SK = \sqrt {11}$

Οπότε, από Πυθαγόρειο Θεώρημα στα BSK, DSK

είναι $\displaystyle SB \cdot SD = \sqrt {S{K^2} + 16} \cdot \sqrt {S{K^2} + 1} = 18$

#3

Από το θ. διχοτόμου έχω : $BD = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = 5$ , Θέτω : $SB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = y$ και AD = d

.

Επειδή η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {A,B,D} \right)$ θα ισχύει : ${x^2} = y\left( {y + d} \right) = {y^2} + yd = {y^2} + 15\,\,$ , δηλαδή $\boxed{{x^2} = {y^2} + 15\,\,\left( 1 \right)}$ .
.

: Υπόγειο γινόμενο.png (25.3 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

.
Από την ομοιότητα των τριγώνων $DBS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DAC\,$ έχω: $\dfrac{{BS}}{{AC}} = \dfrac{{DS}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{x}{{7,5}} = \dfrac{y}{5} \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{2x}}{3}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτουν : $x = 3\sqrt 3 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 2\sqrt 3 \,\, \Rightarrow \boxed{xy = 18}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Aκόμα μια σκέψη, καθώς εκπνέει το 2021...

Όπως προανέφερε ο αγαπητός Doloros από - το εκτός ύλης πλέον - θεώρημα διχοτόμου προκύπτει ότι BD=3, DC=5

Στο τρίγωνο ABC

ισχύει ότι s=10

Aπό τον τύπο που δίνει το μήκος της εσωτερικής διχοτόμου συναρτήσει των μηκών των πλευρών του έχουμε

$\displaystyle AD=\frac{2\sqrt{bcs\left ( s-a \right )}}{b+c}=\frac{2\sqrt{7,5\cdot 4,5\cdot 10\left ( 10-8 \right )}}{4,5+7,5}=...=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Φυσικά ισχύει ότι $\displaystyle AD\cdot SD=BD\cdot DC\Rightarrow SD=\frac{BD\cdot DC}{AD}$

και έτσι βρίσκω ότι

$\displaystyle SD=\frac{3\cdot 5}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων SDB, CDA

προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{SD}{SB}=\frac{CD}{CA}\Rightarrow SB=\frac{SD\cdot CA}{CD}$ και έτσι

$\displaystyle SB=\frac{2\sqrt{3}\cdot 7,5}{5}=3\sqrt{3}$

Tο ζητούμενο γινόμενο είναι ίσο με $2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=18$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 6:57 pm Υπόγειο γινόμενο.pngΗ διχοτόμος του τριγώνου , με ,

τέμνει τον περίκυκλό του , στο σημείο . Υπολογίστε το γινόμενο : $SB\cdot SD$

Καλή χρονιά σε όλους με υγεία και προκοπή

Από .θ.διχοτόμου, BD=3,DC=5

Με

έκκεντρο του $\triangle ABC$ είναι $\angle BIS= \angle IBS= \angle \dfrac{A+B}{2}$ .Άρα $BS=IS=y \Rightarrow ID=y-x$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι b^2=c^2+ac

άρα $\angle C= \angle \dfrac{B}{2}$ συνεπώς $\angle BID= \angle IDB \Rightarrow BI=3$

Θεωρούμε τον κύκλο (S,y)

και ισχύει y^2-x^2=3.5=15

Ακόμη,

κι από $(1) , (2) \Rightarrow y= 3\sqrt{3} ,x=2 \sqrt{3} \Rightarrow xy=18$

: Υπόγειο γινόμενο.png (35.37 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Υπόγειο γινόμενο

Υπόγειο γινόμενο

Re: Υπόγειο γινόμενο

Re: Υπόγειο γινόμενο

Re: Υπόγειο γινόμενο

Re: Υπόγειο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση