Μοναδιαίο άθροισμα

sakis1963 · #1

: 2022.001.FB9250 copy.jpg (45.59 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Εστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \widehat A=90^o$ .

Οι κύκλοι (B, c), (C, b)

τέμνουν την

στα σημεία F, E

αντίστοιχα.

Αν

το ίχνος του ύψους από το

και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο ABC

κύκλου,

ο κύκλος (D, 2r)

τέμνει τους κύκλους (B, c), (C, b)

στα

.

Δείξτε ότι: $\frac{BE}{BP}+\frac{CF}{CQ}=1$

#2

Αν

είναι το αντιδιαμετρικό του

, τα σημεία E, E'

είναι αρμονικά συζυγή των B, D

. Καθώς όμως $EP\perp E'P$ , η

είναι διχοτόμος του τριγώνου BPD

.
Έτσι από Θ. Διχοτόμων, έχουμε $\frac{m}{n}=\frac{ED}{2r}$ .
Ομοίως $\frac{p}{q}=\frac{FD}{2r}$ .
Όμως $r=s-a\Rightarrow 2r=2s-2a=b+c-a$ και ED=b-CD, FD=c-BD

Επομένως $\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{ED}{2r}+\frac{FD}{2r}=\frac{b-CD}{b+c-a}+\frac{c-BD}{b+c-a}=\frac{b-CD+c-BD}{b+c-a}=1$

Μοναδιαίο άθροισμα

Μοναδιαίο άθροισμα

Re: Μοναδιαίο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση