Το μεγαλύτερο εμβαδόν

Eustathia p. · #1

: Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ οι ίσες πλευρές του έχουν σταθερό μήκος AB = AC = b

, ενώ η βάση του

είναι μεταβλητή.

Στο Περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο

με

(σταθερό). Αν $AD \cap BC \equiv E$ ,

να βρεθεί το μεγαλύτερο εμβαδόν του $\vartriangle DEC$ .

#2

Eustathia p. έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 10:20 am
Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png

Ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ οι ίσες πλευρές του έχουν σταθερό μήκος , ενώ η βάση του είναι μεταβλητή.

Στο Περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο με (σταθερό). Αν $AD \cap BC \equiv E$ ,

να βρεθεί το μεγαλύτερο εμβαδόν του $\vartriangle DEC$ .

Έστω

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

Με νόμο συνημιτόνου στο ABE

έχω:

: Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

$\displaystyle A{E^2} = {b^2} + E{B^2} + 2bEB\cos \theta = {b^2} + E{B^2} + aEB \Leftrightarrow$ $\boxed{AE^2-EB^2=b^2+aEB}$ (1)

$\displaystyle ED \cdot EA = EB \cdot EC \Leftrightarrow (AE - h)AE = EB(EB + a) \Leftrightarrow A{E^2} - E{B^2} = hAE + aEB\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle AE = \frac{{{b^2}}}{h} \Leftrightarrow DE = \frac{{{b^2} - {h^2}}}{h}$ (σταθερό), άρα το ζητούμενο εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν γίνει μέγιστο το ύψος CF.

Αλλά, $\displaystyle CF \le b,$ οπότε $\boxed{ {(DEC)_{\max }} = \frac{b}{{2h}}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)}$ όταν $\boxed{C\widehat AD=90^\circ}$

KARKAR · #3

: Εξωτερικό τμήμα.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Το κλειδί της πανέμορφης αυτής άσκησης (

) , είναι η σταθερότητα του τμήματος

.

Στη συνέχεια , με σταθερά AC , AD

προφανώς το (ADC)

μεγιστοποιείται για $\widehat{DAC}=90^0$ ,

οπότε μεγιστοποιείται και το (DEC)

. Βάζω το σχήμα με τα νούμερα που πρότεινα στο λήμμα

υπολογισμού του

, εκεί . Ο μετρ Γιώργος όμως , πρόλαβε και το απάντησε εδώ

Το μεγαλύτερο εμβαδόν

Το μεγαλύτερο εμβαδόν

Re: Το μεγαλύτερο εμβαδόν

Re: Το μεγαλύτερο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση