Ορθογώνιο στο τετράγωνο

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο στο τετράγωνο.png (7.99 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

"επισυνάπτουμε" το ορθογώνιο PQST

, με το

στην

,

το

στην προέκταση της

και την πλευρά

να διέρχεται από την κορυφή

.

α) Δείξτε ότι το ορθογώνιο έχει εμβαδόν μεγαλύτερο από εκείνο του τετραγώνου .

β) Αν BQ=3DP

, για ποια θέση του

, προκύπτει : $\dfrac{(PQST)}{(ABCD)}=\dfrac{4}{3}$ ;

#2

: Ορθογώνιο στο τετράγωνο_a.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

α) το μισό ορθογώνιο είναι το $\left( {CPQ} \right)$ , το μισό τετράγωνο είναι το, $\left( {CPB} \right)$ και αφού έχουν κοινό το πράσινο χωρίο αρκεί να δείξουμε ότι: $X = \left( {CBQ} \right) > Y = \left( {PBQ} \right)$ .

Αλλά : $\left\{ \begin{gathered} 2X = BQ \cdot BC \hfill \\ 2Y = BQ \cdot AP \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε αρκεί : BC > AP

που ισχύει .

β) Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ . Θέτω : $DP = k \Rightarrow BQ = 3k\,\,,\,\,CO = b\,\,,\,\,BF = v$ .

: Ορθογώνιο στο τετράγωνο_b_Ανάλυση_Κατασκευή.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Επειδή: $\vartriangle APQ \approx \vartriangle BFQ$ έχω: $\dfrac{{BF}}{{AP}} = \dfrac{{QB}}{{QA}} \Rightarrow \dfrac{v}{{a - k}} = \dfrac{{3k}}{{a + 3k}} \Rightarrow v = \dfrac{{3k\left( {a - k} \right)}}{{a + 3k}}\,\,\left( 1 \right)$

Έτσι $CF = a - v = \dfrac{{{a^2} + 3{k^2}}}{{a + 3k}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Αλλά και $\vartriangle APQ \approx \vartriangle OFC \Rightarrow \dfrac{{CF}}{{PQ}} = \dfrac{{CO}}{{AQ}} \Rightarrow PQ \cdot CO = CF \cdot AQ$ ,

δηλαδή : $\left( {PQST} \right) = CF \cdot AQ\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{{a^2} + 3{k^2}}}{{a + 3k}}\left( {a + 3k} \right) = {a^2} + 3{k^2}$ . Έτσι έχω την εξίσωση :

$3\left( {{a^2} + 3{k^2}} \right) = 4{a^2} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{a}{3}}$ και το

μέσο του

.

Ορθογώνιο στο τετράγωνο

Ορθογώνιο στο τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο στο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση