Κατασκευή για όλα τα γούστα

#1

1) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε την πλευρά BC = a

, το ίχνος

της εσωτερικής διχοτόμου

και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται σε δεδομένο κύκλο.

Εφαρμογή.

Δίδονται τα σημεία : $B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right)$ .

α) Δείξετε ότι τα σημεία B,C,D

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή $A(a,b)\,\,$ , με $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η

είναι εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

${\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40$

Να λυθεί είτε η κατασκευή, είτε η εφαρμογή με όποιο τρόπο θέλετε για την εφαρμογή

(και τα δύο προαιρετικά )

STOPJOHN · #2

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 10:43 am
1) Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε την πλευρά , το ίχνος

της εσωτερικής διχοτόμου και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται σε δεδομένο κύκλο.

Εφαρμογή.

Δίδονται τα σημεία : $B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right)$ .

α) Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή $A(a,b)\,\,$ , με $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η είναι εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

${\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40$

Να λυθεί είτε η κατασκευή, είτε η εφαρμογή με όποιο τρόπο θέλετε για την εφαρμογή

(και τα δύο προαιρετικά )

Για το πρώτο ερώτημα

Είναι $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{D'B}{D'C}$ ,όπου $AD'\perp AD$ η

σταθερότητα του λόγου ισχύει γιατί δόθηκαν το BC=a

και το σημείο

οπότε ο πράσινος κύκλος είναι Απολλώνιος και κινείται το σημείο

Ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται στον περιγγεγραμένο κύκλο του τριγώνου ABC

Αρα κατασκευάζουμε τυχαίο κύκλο ,μπλέ που διέρχεται απο τα σταθερά σημεία B,C

και τέμνει τον κόκκινο κύκλο στα σημεία G,J

δηλαδή εχουμε την ευθεία

ριζικό άξονα των (K),(L)

και

ριζικός άξονας των (L),(O)

Οπότε το σημείο

τομής των δυο ριζικών αξόνων ορίζει το ριζικό κέντρο και είναι γνωστό ότι η εφαπτόμένη του κόκκινου κύκλου στο

διέρχεται από το σημείο

Αρα η εφαπτομένη από το γνωστό σημείο

στον δοθέντα κόκκινο κύκλο ορίζει το σημείο

και του πράσινου ώς ο κύκλος που διέρχεται απο τα σημεία B,C,E

κατασκευάζεται

Τελικά η κορυφή

ορίζεται ως η τομή των γεωμετρικών τόπων του πράσινου και μπλέ κύκλου δηλαδή του Απολλώνιου κύκλου και του περιγγεγραμμένου στο τρίγωνο ABC

ΥΓ Νίκο καλημέρα μέχρι εδώ το γούστο μου.........θα βρώ χρόνο για το δευτερο ερώτημα αλλα οι πολλές πράξεις με απωθούν. Πιθανον να χρειάζονται λίγες συμπληρώσεις αργότερα

#3

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 10:43 am

Δίδονται τα σημεία : $B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right)$ .

α) Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή $A(a,b)\,\,$ , με $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η είναι εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

${\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40$

Δεν κάνω όλη τη λύση. Επιβεβαιώνω απλώς το σημείο A(3,4).

: Για όλα τα γούστα.Φ.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

α) $\displaystyle \overrightarrow {DC} = \left( {4, - \frac{4}{3}} \right) = 2\left( {2, - \frac{2}{3}} \right) = 2\overrightarrow {BD} ,$ άρα τα B,C,D

είναι συνευθειακά.

β) Θα δείξω ότι η κορυφή A(3,4)

ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις της άσκησης.

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{4\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} = \frac{{BD}}{{DC}},$ οπότε η

είναι διχοτόμος.

$\displaystyle \bullet$ Εύκολα διαπιστώνω ότι το ABC

είναι ορθογώνιο και το περίκεντρό του είναι το μέσο

της

άρα η εξίσωση του

περίκυκλού του είναι $\displaystyle {(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 10.$ Λύνοντας τώρα το σύστημα με την εξίσωση του δοσμένου κύκλου,

βρίσκω μοναδική λύση x=7, y=2,

δηλαδή οι δύο κύκλοι εφάπτονται στο S(7,2).

Κατασκευή για όλα τα γούστα

Κατασκευή για όλα τα γούστα

Re: Κατασκευή για όλα τα γούστα

Re: Κατασκευή για όλα τα γούστα

Μέλη σε σύνδεση