Δύο ορθογώνια τρίγωνα

#1

Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίδιο το εμβαδόν και ίδια την περίμετρο. Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά ίσα .

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 15, 2022 8:43 pm
Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίδιο το εμβαδόν και ίδια την περίμετρο. Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά ίσα .

Ναι, είναι ίσα.

Έστω

και

το κοινό εμβαδόν και η περίμετρος, αντίστοιχα. Aν a,b

οι κάθετες πλευρές του ενός τριγώνου, έχουμε

ab=2E

και $a+b+\sqrt {a^2+b^2} = 2T$ . H δεύτερη γράφεται $\sqrt {a^2+b^2} = 2T- (a+b)$ που με ύψωση στο τετράγωνο και με χρήση της πρώτης δίνει $a+b= \dfrac {T^2+E}{T}$

Με άλλα λόγια οι πλευρές ικανοποιούν τις σχέσεις $a+b= \dfrac {T^2+E}{T}$ και ab=2E

. Άρα είναι οι ρίζες της $x^2-\dfrac {T^2+E}{T}x+2E=0$ .

Οι κάθετες πλευρές $c,\,d$ οποιουδήποτε άλλου τριγώνου με το ίδιο εμβαδόν και περίμετρο ικανοποιούν ακριβώς την ίδια εξίσωση. Οπότε τελικά οι ρίζες τις ικανοποιούν είτε ( $a=c,\, b=d$ ) ή ( $a=d,\, b=c$ ) (ίδια τρίγωνα και στις δύο περιπτώσεις).

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι απόδειξης της ιδιότητας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 15, 2022 8:43 pm
Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίδιο το εμβαδόν και ίδια την περίμετρο. Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά ίσα .

Είναι γνωστό ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι

Επομένως $(ABC)=(A’B’C’) \Rightarrow (s-b)(s-c)=(s-b')(s-c')$ κι επειδή

bc=b’c’

παίρνουμε

άρα και

Θεωρούμε τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα ABD , A’B’D’

με

και

οπότε

$\angle ADB= \angle A'D'B'=45^0$

Ο ν.συνημιτόνου στα τρίγωνα CDB,C’D’B’

δίνει

$a^2 =(b+c)^2+2c^2-2(b+c)c \Rightarrow bc+c^2-(b+c)c=0$ και

$a'^2 =(b'+c')^2+2c'^2-2(b'+c')c' \Rightarrow b'c'+c'^2-(b'+c')c'=0$

κι επειδή b+c=b’+c’

καθώς και

,εύκολα έχουμε c=c’

άρα

και b=b’

,συνεπώς $\triangle ABC= \triangle A'B'C'$

: Δυο ορθογώνια τρίγωνα.png (17.74 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

#4

Ας δούμε και μια λύση ακόμα:
Επειδή το εμβαδόν κάθε τριγώνου δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E=T.p}$ , έπεται άμεσα ότι τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίδια την ακτίνα $\displaystyle{p}$ του εγγεγραμμένου τους κύκλου. Άρα οι κάθετες πλευρές στο ένα τρίγωνο θα είναι $\displaystyle{x+p , y+p}$ και στο άλλο $\displaystyle{v+p , f+p}$
Από την υπόθεση, έχουμε: $\displaystyle{2x+2y+2p=2v+2f+2p}$ και άρα $\displaystyle{x+y=v+f}$ (1)
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα δύο τρίγωνα έχουμε:
$\displaystyle{(x+y)^2 =(x+p)^2 +(y+p)^2}$
$\displaystyle{(v+f)^2 =(v+p)^2 +(f+p)^2}$
Μετά τις απλές πράξεις έχουμε:
$\displaystyle{xy=p(x+y+p)}$
$\displaystyle{vf=p(v+f+p)}$
Οπότε λόγω και της (1) έχουμε $\displaystyle{xy=vf}$ (2)
Από την (1) τώρα έχουμε: $\displaystyle{(x+y)^2 = (v+f)^2 \Rightarrow x^2 +y^2 +2xy=v^2 +f^2 +2vf}$ και λόγω της (2), θα είναι $\displaystyle{x^2 +y^2 =v^2 +f^2}$ (3)
Από τις (1) και (3) έχουμε:
$\displaystyle{x-f=v-y}$
$\displaystyle{x^2 -f^2 =v^2 -y^2}$
Άρα:
$\displaystyle{x-f=v-y}$
$\displaystyle{(x-f)(x+f)=(v-y)(v+y)}$ .(4)
Αν είναι $\displaystyle{x=f}$ , τότε θα είναι και $\displaystyle{v=y}$ και προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα
Αν είναι $\displaystyle{x\neq f}$ , τότε θα είναι και $\displaystyle{v\neq y}$ και η (4) μας δίνει $\displaystyle{x+f=v+y}$ . Συνεπώς έχουμε το σύστημα:
$\displaystyle{x-f=v-y}$
$\displaystyle{x+f=v+y}$
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: $\displaystyle{x=v}$ και με αφαίρεση $\displaystyle{y=f}$ , οπότε και πάλι τα τρίγωνα είναι ίσα

#5

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια ακόμα προσέγγιση με διαφορετικά εργαλεία.

: 16-01-2022 Γεωμετρία.jpg (15.11 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} c = a \cdot \eta \mu \varphi \\ b = a \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi \end{array} \right. & \left\{ \begin{array}{c} c' = a' \cdot \eta \mu \omega \\ b' = a' \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \end{array} \right.$ Έστω $\displaystyle b \ge c,\;\;b' \ge c'$ , οπότε $\displaystyle \varphi ,\omega \in \left( {0,\;\frac{\pi }{4}} \right]$ .

Ισχύει $\displaystyle bc = b'c' \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{a'}}} \right)^2} = \frac{{\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega }}{{\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}$ (1)

και $\displaystyle a + b + c = a' + b' + c' \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{a'}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {\eta \mu \omega + \sigma \upsilon \nu \omega + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi + 1} \right)}^2}}}$ (2)

Οπότε, από (1) και (2) είναι $\displaystyle \frac{{{{\left( {\eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi + 1} \right)}^2}}}{{\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{{{\left( {\eta \mu \omega + \sigma \upsilon \nu \omega + 1} \right)}^2}}}{{\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega }}$ (3)

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x + 1} \right)}^2}}}{{\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x}},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{4}} \right]$
έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{ - \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x + 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu x + \eta \mu x + 2} \right)\left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x - 1} \right)}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x \cdot \eta {\mu ^2}x}} \le 0$

με το ίσον μόνον όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ , άρα είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε “1-1”, άρα η (3) δίνει $\displaystyle \varphi = \omega$ που συνεπάγεται άμεσα ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

#6

Το πρόβλημα ανάγεται στο να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο με περίμετρο $2\tau$ και εμβαδόν

: Δύο ορθογώνια τρίγωνα.Δ.png (19.42 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Επί της πλευράς

ορθής γωνίας $x\widehat Ay=90^\circ$ θεωρώ σημείο

τέτοιο ώστε $AN=\tau.$ Στο

υψώνω κάθετο

προς την

που τέμνει τη διχοτόμο της ορθής στο I_a.

Γράφω τον κύκλο (I_a, I_aN)

και τον κύκλο $(I, \rho)$ που είναι

εγγεγραμμένος στην ορθή και έχει ακτίνα $\rho=\dfrac{k^2}{\tau}.$ Η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνει τις Ax, Ay

στα

Το τρίγωνο ABC

είναι το ζητούμενο.

Το τρίγωνο αυτό όπως προκύπτει από την κατασκευή είναι μοναδικό (κατά μέγεθος) και κάθε άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με ίδια περίμετρο και ίδιο εμβαδόν, θα είναι ίσο με αυτό.

Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Re: Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Re: Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Re: Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Re: Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Re: Δύο ορθογώνια τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση