Μεγάλες κατασκευές 74

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 74.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Οι κύκλοι (K)

και

είναι ίσοι και εφάπτονται εξωτερικά . Σε σημείο

του

, φέρουμε εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει τον (K)

στα σημεία

και

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : SM=MT

;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 19, 2022 1:18 pm Μεγάλες κατασκευές 74.pngΟι κύκλοι και είναι ίσοι και εφάπτονται εξωτερικά . Σε σημείο του , φέρουμε εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει τον στα σημεία και . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Μεγάλες κατασκευές 74.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Με κέντρο το

και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου του εγγεγραμμένου στον (K)

γράφω

κύκλο που τέμνει τον (O)

στο

Η

τον επανατέμνει στο ζητούμενο σημείο

Όποιος θέλει

ας κάνει την απόδειξη.

nickchalkida · #3

Θεωρὼ την διάταξη του σχήματος και αποδεικνύω ότι SM = MT

. Είναι λοιπόν

$\displaystyle{ \begin{aligned} & AS^2 = AO^2 - OS^2 \rightarrow AS = 3R\sqrt{7} \cr & SH = {AS \over 4} = {3 \over 4}R\sqrt{7} \cr & FL^2 = FO^2 -LO^2 \rightarrow FL^2 = R^2 - {9 \over 16} R^2 \rightarrow FL = {R\sqrt{7} \over 4} = MH = HT \cr \end{aligned} }$

άρα SM = MT

.

#4

: Μεγάλες 74.png (23.67 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Αύριο η πλήρης απάντηση .

Το x=OE=4r/3

και μετά το

προσδιορίζεται απλά

KARKAR · #5

: 74.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές

Ελέγξτε και την παρακάτω κατασκευή (το μπλε κάθετο στην διάκεντρο ) .

#6

Ανάλυση .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Με

το σημείο επαφής των ίσων κύκλων $\left( {O,r} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,r} \right)$ η κοινή τους,εσωτερική εφαπτομένη σ αυτό τέμνει την

στο

.

Η

τέμνει ακόμα τον $\left( {K,r} \right)$ στο

και θα είναι , προφανώς $SA = AB \Rightarrow AM// = \dfrac{{BT}}{2}$ .

Το τραπέζιο BTMA

ως εγγράψιμο είναι ισοσκελές , οπότε και τα τρίγωνα $SAM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBT$ είναι ισοσκελή .

Θέτω , $SA = AB = SM = MT = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM = u$ . Θα ισχύει : $EM \cdot ET = E{A^2} = E{S^2}$ .

Δηλαδή : $u\left( {u + k} \right) = {\left( {k - u} \right)^2} \Rightarrow \boxed{k = 3u}\,\,\left( 1 \right)$ .
.

: Μεγάλες 74_Kατασκευή.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

.
Από το εγγράψιμο, OAES

και το Θ. Πτολεμαίου έχω: $SA \cdot OE = 2OA \cdot SE\,\,\,\left( 2 \right)$ , αν είναι OE = x

, λόγω της $\left( 1 \right)$ η $\left( 2 \right)$ δίνει,

$kx = 2r\left( {k - u} \right) = 2r\dfrac{{2k}}{3} = \dfrac{{4kr}}{3} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{4r}}{3}}\,\,$ .

Κατασκευή –Διερεύνηση .

Η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο ίσων κύκλο , τέμνει τον κύκλο $\left( {O,\dfrac{{4r}}{3}} \right)$ σε δύο σημεία , έστω $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E'$ . Οι εφαπτόμενες απ’ αυτά στο κύκλο $\left( {O,r} \right)$ δίδουν δύο λύσεις του προβλήματος .

#7

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 20, 2022 9:31 am 74.pngΕλέγξτε και την παρακάτω κατασκευή (το μπλε κάθετο στην διάκεντρο ) .

: Μεγάλες 74_extra_1.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Έχω $ES = EA = 2u,\,OE = \dfrac{{4r}}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA = 3u$ . Π. Θ. στο $\vartriangle AEO$ και προκύπτει: $EA = 2u = \dfrac{r}{3}\sqrt 7 \,\,\left( 1 \right)$ .

Επέκταση Π. Θ. στο $\vartriangle ASO$ : $O{S^2} = S{A^2} + O{A^2} - 2OA \cdot OL \Rightarrow {r^2} = 9{u^2} + {r^2} - 2rx$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ ,

${r^2} = 8rx \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{r}{8}}$ .

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 19, 2022 1:18 pm Μεγάλες κατασκευές 74.pngΟι κύκλοι και είναι ίσοι και εφάπτονται εξωτερικά . Σε σημείο του , φέρουμε εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει τον στα σημεία και . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Εστω ότι

καί $S\Pi =A\Pi =y,A\Pi ^{2}=\Pi M.\Pi T\Rightarrow y=\dfrac{2x}{3},$

Στο ορθογώνιο τραπέζιο SOKI

, η

είναι διάμεσος και $\Pi N=\dfrac{3x}{4}-y=\dfrac{x}{12},$ , $A\Pi ^{2}=\Pi N^{2}+AN^{2},(1), 2AN=R+IK,(2), (1),(2)\Rightarrow 2x^{2}-2R^{2}=R\sqrt{4R^{2}-x^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{R\sqrt{7}}{2}, OMS, OM=\dfrac{R\sqrt{11}}{2}$

Συνεπώς γράφουμε το κύκλο (O,OM)

και η εφαπτομένη απο το σημείο

προς το κύκλο

ορίζει τη ζητούμενη ευθεία

Μεγάλες κατασκευές 74

Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Re: Μεγάλες κατασκευές 74

Μέλη σε σύνδεση