Πράσινο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Πράσινο ορθογώνιο.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο , διαμέτρου AOB =2r

. Το ορθογώνιο τρίγωνο NPT

, δημιουργείται

από την εφαπτομένη του τόξου στο

τις τομές της N , T

με την μεσοκάθετη της

και την προέκταση

της

, ενώ το

είναι σημείο της ευθείας

, με $PN \perp SN$ . Υπολογίστε το $(NPT)_{min}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 7:36 pm
Πράσινο ορθογώνιο.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο , διαμέτρου . Το ορθογώνιο τρίγωνο , δημιουργείται

από την εφαπτομένη του τόξου στο τις τομές της με την μεσοκάθετη της και την προέκταση

της , ενώ το είναι σημείο της ευθείας , με $PN \perp SN$ . Υπολογίστε το $(NPT)_{min}$ .

Θέτουμε $\widehat {SOT}= \theta$ οπότε $\widehat {ONS}=\widehat {NPO}=\theta$ . Άρα $ST=r\tan \theta$ , $SN = \dfrac {r}{\tan \theta }$ , $ON= \dfrac {r} {\sin \theta}$ , $PN= \dfrac {ON} {\sin \theta}= \dfrac {r}{\sin ^2 \theta }$ .

To εμβαδόν ισούται

$\displaystyle{ \dfrac {1}{2} PN\cdot NT= \dfrac {r}{2\sin ^2 \theta } \left ( \dfrac {r}{\tan \theta }+r\tan \theta \right )= \dfrac {r^2} {2\sin ^3 \theta \cos \theta}}$

Έχουμε λοιπόν ισοδύναμα να βρούμε το μέγιστο του $\sin ^3 \theta \cos \theta$ . Γίνεται με διάφορους τρόπους. Π.χ. έχει παράγωγο $3\sin ^2\theta \cos ^2 \theta - \sin ^4 \theta = \sin ^2 \theta (3 - 4 \sin ^2 \theta)$ , άρα $\sin \theta = \dfrac {\sqrt 3}{2}$ , δηλαδή ισοδύναμα $\theta = \pi /3$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι είναι μέγιστο και εύκολα βρίσκουμε την τιμή του, εδώ $\dfrac {3\sqrt 3}{16}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα. Τελική απάντηση ελαχίστου εμβαδού ίσον $\dfrac {8r^2\sqrt 3 }{9}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 7:36 pm
Πράσινο ορθογώνιο.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο , διαμέτρου . Το ορθογώνιο τρίγωνο , δημιουργείται

από την εφαπτομένη του τόξου στο τις τομές της με την μεσοκάθετη της και την προέκταση

της , ενώ το είναι σημείο της ευθείας , με $PN \perp SN$ . Υπολογίστε το $(NPT)_{min}$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω:

: Πράσινο εμβαδόν.Κ.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

$\displaystyle {r^2} = NS \cdot ST = NS\sqrt {{x^2} + 2rx} \Leftrightarrow NS = \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2rx} }}$

$\displaystyle \frac{{OT}}{{OP}} = \frac{{ST}}{{SN}} \Leftrightarrow \frac{{x + r}}{{OP}} = \frac{{{x^2} + 2rx}}{{{r^2}}} \Rightarrow PT = \frac{{{{(x + r)}^3}}}{{{x^2} + 2rx}}$

$\displaystyle N{O^2} = NS \cdot NT = NS(NS + ST) \Leftrightarrow NO = \frac{{r(r + x)}}{{\sqrt {{x^2} + 2rx} }}$

$\displaystyle (NPT) = \frac{1}{2}PT \cdot NO \Leftrightarrow (NPT) = f(x) = \frac{{r{{(r + x)}^5}}}{{2({x^2} + 2rx)\sqrt {{x^2} + 2rx} }}$

Είναι $\displaystyle f'(x) = \frac{{r{{(r + x)}^3}(x - r)(x + 3r)}}{{2{{({x^2} + 2rx)}^2}\sqrt {{x^2} + 2rx} }},$ οπότε η

παρουσιάζει για $\boxed{x=r}$

ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{{(NPT)_{\min }} = \frac{{8{r^2}\sqrt 3 }}{9}}$

KARKAR · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 9:24 pm

To εμβαδόν ισούται με $\dfrac {r^2} {2\sin ^3 \theta \cos \theta}}$

Έχουμε λοιπόν ισοδύναμα να βρούμε το μέγιστο του $\sin ^3 \theta \cos \theta$ . Γίνεται με διάφορους τρόπους. Π.χ. έχει παράγωγο $3\sin ^2\theta \cos ^2 \theta - \sin ^4 \theta = \sin ^2 \theta (3 - 4 \sin ^2 \theta)$ , άρα $\sin \theta = \dfrac {\sqrt 3}{2}$ , δηλαδή ισοδύναμα $\theta = \pi /3$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι είναι μέγιστο και εύκολα βρίσκουμε την τιμή του, εδώ $\dfrac {3\sqrt 3}{8}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα.
Τελική απάντηση ελαχίστου εμβαδού ίσον $\dfrac {4\sqrt 3 }{9}$ .

Ομολογώ , ότι η τριγωνομετρική λύση ( του Μιχάλη ) , μου άρεσε περισσότερο . Απαιτούνται κάποιες μικροδιορθώσεις

στις πρώτες γραμμές του αρχικού του κειμένου και δύο διορθώσεις στις δύο τελευταίες γραμμές .

Συγκεκριμένα , το μέγιστο του : $\sin^3x \cos x$ , είναι $\dfrac {3\sqrt 3}{16}$ , συνεπώς το ελάχιστο

εμβαδόν του πρασίνου , είναι : $\dfrac {8r^2\sqrt 3}{9}$ , που συμπίπτει με την λύση του Γιώργου .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 21, 2022 7:41 pm
Απαιτούνται κάποιες μικροδιορθώσεις

Έχεις δίκιο. Χρειάστηκαν τυπογραφικές και λογιστικές διορθώσεις

τις οποίες έκανα. Ελπίζω τώρα όλα να είναι σωστά.

Αυτή η εποχή είναι νυχθημερόν προετοιμασία για τον διαγωνισμό Καγκουρό, οπότε πάντα βιάζομαι...

#6

Καλησπέρα σε όλους. Αφού άρεσε στον Θανάση η τριγωνομετρική λύση του Μιχάλη, παίρνω θάρρος να το τερματίσω:

Χρησιμοποιώ πολικές συντεταγμένες για να έχουμε μονοπαραμετρική συνάρτηση εμβαδού, προσδιορισμό των κορυφών του τριγώνου με τομές ευθειών και αξόνων και για κορύφωση την τραβηγμένη από τα μαλλιά αλγεβρική μέθοδο προσδιορισμού μεγίστου.

: 22-01-2022 Γεωμετρία.png (23.17 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές

Έστω

οπότε $\displaystyle S\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\eta \mu \varphi } \right),\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ .

Είναι $\displaystyle OS:y = \varepsilon \varphi \varphi \cdot x,\;\;NT:y - \eta \mu \varphi = - \sigma \varphi \varphi \left( {x - \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)$

Βρίσκουμε $\displaystyle {\rm N}\left( {0,\;\frac{1}{{\eta \mu \varphi }}} \right),\;{\rm T}\left( {\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},\;0} \right)$

Είναι $\displaystyle NP//OS \Rightarrow NP:y - \frac{1}{{\eta \mu \varphi }} = \varepsilon \varphi \varphi \cdot x$ , οπότε $\displaystyle P\left( { - \frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta {\mu ^2}\varphi }},0} \right)$

Είναι $\displaystyle \left( {NT} \right) = \sqrt {\frac{1}{{\eta {\mu ^2}\varphi }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }}} = \frac{1}{{\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}$ και $\displaystyle \left( {NP} \right) = \sqrt {\frac{1}{{\eta {\mu ^2}\varphi }} + \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }}{{\eta {\mu ^4}\varphi }}} = \frac{1}{{\eta {\mu ^2}\varphi }}$

οπότε $\displaystyle \left( {NPT} \right) = \frac{1}{{2\eta {\mu ^3}\varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}$ .

Θέλουμε το μέγιστο του $\displaystyle \eta {\mu ^3}\varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi = {\left( {\eta {\mu ^2}\varphi } \right)^{\frac{3}{2}}}{\left( {\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi } \right)^{\frac{1}{2}}}$ για $\displaystyle 0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ .

Επειδή το άθροισμα $\displaystyle \eta {\mu ^2}\varphi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi$ είναι σταθερό, το γινόμενό τους θα έχει μέγιστο όταν είναι $\displaystyle \frac{{\eta {\mu ^2}\varphi }}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }}{{\frac{1}{2}}}$ (αν γίνεται).

Η ισότητα αυτή ισοδυναμεί με $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \sqrt 3 \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}$ , οπότε $\displaystyle {\left( {NPT} \right)_{\min }} = \frac{1}{{2\eta {\mu ^3}\frac{\pi }{3} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}$ και για τυχαία ακτίνα $\displaystyle {\left( {NPT} \right)_{\min }} = \frac{{8{r^2}\sqrt 3 }}{9}$ .

Πράσινο εμβαδόν

Πράσινο εμβαδόν

Re: Πράσινο εμβαδόν

Re: Πράσινο εμβαδόν

Re: Πράσινο εμβαδόν

Re: Πράσινο εμβαδόν

Re: Πράσινο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση