Πολική αρκούδα

KARKAR · #1

: Πολική αρκούδα.png (17.23 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Οι πλευρές AB , BC , CA

, του τριγώνου ABC

, είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος (E)

του τριγώνου εφάπτεται της

στο

. Δείξτε ότι η απόσταση του

από το μέσο

της πλευράς

, ισούται με την απόσταση του σημείου

, από το νότιο πόλο

του περικύκλου του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 14, 2022 12:14 pm Πολική αρκούδα.pngΟι πλευρές , του τριγώνου , είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από το μέσο

της πλευράς , ισούται με την απόσταση του σημείου , από το νότιο πόλο του περικύκλου του τριγώνου .

Η διχοτόμος AES

τέμνει την

στο

Έστω

: Πολική αρκούδα.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

$\displaystyle BD = \frac{{a(a - x)}}{{2a}} = \frac{c}{2},DC = \frac{{a(a + x)}}{{2a}} = \frac{b}{2},BM = \frac{a}{2}$ και $\displaystyle BP = \tau - b = \frac{{3a}}{2} - b$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle PD = BD - BP = \frac{c}{2} - \frac{{3a}}{2} + b = \frac{{b + b + c - 3a}}{2} = \frac{b}{2} - \frac{a}{2} = DC - MC = DM,$ άρα το

είναι μέσο του PM.

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle A{D^2} = bc - BD \cdot DC = bc - \frac{{bc}}{4} = \frac{{3bc}}{4} \Leftrightarrow AD = \frac{{\sqrt {3bc} }}{2}$

$\displaystyle \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{b + c}}{a} = 2 \Leftrightarrow ED = \frac{{AD}}{3} \Leftrightarrow ED = \frac{{\sqrt {3bc} }}{6}$

$\displaystyle AD \cdot DS = BD \cdot DC \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {3bc} }}{2}DS = \frac{{bc}}{4} \Leftrightarrow DS = \frac{{\sqrt {3bc} }}{6} = ED.$

Επομένως, το EPSM

είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοι του διχοτομούνται) και το ζητούμενο έπεται.

Θα αναζητήσω ευκολότερη λύση.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 14, 2022 12:14 pm Πολική αρκούδα.pngΟι πλευρές , του τριγώνου , είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από το μέσο

της πλευράς , ισούται με την απόσταση του σημείου , από το νότιο πόλο του περικύκλου του τριγώνου .

Έστω $a = 2u\,\,,\,\,b = 2u + 2k\,\,,c = 2u - 2k$ . Θα είναι $s = \dfrac{{a + b + c}}{2} = 3u\,\,$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα : $\left( {ABC} \right) = E = \sqrt 3 u\sqrt {{u^2} - 4{k^2}} \Rightarrow r = \dfrac{{\sqrt 3 \sqrt {{u^2} - 4{k^2}} }}{3}\,\,\left( 1 \right)$ .

: Πολική Αρκούδα_1.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές

Έστω τώρα, SM = m

. Αρκεί να δείξω ότι m = r

. $\tan \theta = \dfrac{m}{u} \Rightarrow \cos 2\theta = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{{{u^2} - {m^2}}}{{{u^2} + {m^2}}}\,\,\left( 2 \right)$

Αλλά $A = 2\theta$ και από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ προκύπτει :

$\cos 2\theta = \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{u^2} + 2{k^2}}}{{2\left( {{u^2} - {k^2}} \right)}}\,\,$ και λόγω της $\left( 2 \right)$ , $\boxed{m = r}$ .

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 14, 2022 12:14 pm Πολική αρκούδα.pngΟι πλευρές , του τριγώνου , είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από το μέσο

της πλευράς , ισούται με την απόσταση του σημείου , από το νότιο πόλο του περικύκλου του τριγώνου .

: Πολική αρκούδα.png (33.39 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Προφανώς $SM\bot BC$ και A,E,M

συνευθειακά. Αν

είναι το σημείο επαφής του έγκυκλου με την

, τότε με $AD=\tau -a=\dfrac{b+c+a}{2}-a\overset{b+c=2a}{\mathop{=}}\,\ldots \dfrac{a}{2}=BM$ και με $\angle SBM\equiv \angle SBC=\angle SAC\equiv \angle EAD=\dfrac{\angle A}{2}$ προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle ADE,\vartriangle BMS$ είναι ίσα οπότε $ED=SM\overset{ED=EP=r}{\mathop{\Rightarrow }}\,EP=SM\overset{EP\parallel DM}{\mathop{\Rightarrow }}\,EPMS$ παραλληλόγραμμο και συνεπώς EM=PS

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 14, 2022 12:14 pm Πολική αρκούδα.pngΟι πλευρές , του τριγώνου , είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από το μέσο

της πλευράς , ισούται με την απόσταση του σημείου , από το νότιο πόλο του περικύκλου του τριγώνου .

Ισχύει

άρα $\tau = \dfrac{3a}{2}$

Είναι, b+c=2a

κι από θ.διχοτόμου $BN= \dfrac{ac}{b+c} = \dfrac{ac}{2a}= \dfrac{c}{2} \Rightarrow NC= \dfrac{b}{2}$

Επιπλέον $BP= \tau -b= \dfrac{3a}{2}-b \Rightarrow PN=BN-BP= \dfrac{c}{2}- (\dfrac{3a}{2}-b)$ και $MN= \dfrac{b}{2}- \dfrac{a}{2}$

Έτσι , $PN=MN \Leftrightarrow \dfrac{b+c}{2}=a$ αληθής ,άρα EMSP

παραλ/μμο ,οπότε EM=PS

: πολική αρκούδα.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 14, 2022 12:14 pm Πολική αρκούδα.pngΟι πλευρές , του τριγώνου , είναι - με την σειρά που δίνονται - διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από το μέσο

της πλευράς , ισούται με την απόσταση του σημείου , από το νότιο πόλο του περικύκλου του τριγώνου .

Άλλη μια λύση..

Ισχύει 2a=b+c

άρα $\tau = \dfrac{3a}{2}$

$(ABC)= \tau r = \dfrac{3a}{2}r \Rightarrow \dfrac{a \upsilon _{a} }{2}= \dfrac{3a}{2}r \Rightarrow r= \dfrac{ \upsilon _{a} }{3} \Rightarrow EA=2EN$

Από θ.Πτολεμαίου $(b+c)x=aAS \Rightarrow AS=2x$ . Αλλά x=BS=ES

,άρα

συνεπώς $EN=NS \Rightarrow EMSP$ παραλ/μμο και EM=PS

: πολική αρκούδα.png (28.7 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Πολική αρκούδα

Πολική αρκούδα

Re: Πολική αρκούδα

Re: Πολική αρκούδα

Re: Πολική αρκούδα

Re: Πολική αρκούδα

Re: Πολική αρκούδα

Μέλη σε σύνδεση