Ισόπλευρο και καθετότητα

#1

: Ισόπλευρο και καθετότητα..png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

και

ένα σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{BC}$

ώστε DB>DC.

Η μεσοκάθετη του

τέμνει τον κύκλο στα E,F (E, D

προς το ίδιο μέρος της BC).

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι $PD\bot BC.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 01, 2022 12:45 pm
Ισόπλευρο και καθετότητα..png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και ένα σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{BC}$

ώστε Η μεσοκάθετη του τέμνει τον κύκλο στα προς το ίδιο μέρος της

Αν οι τέμνονται στο να δείξετε ότι $PD\bot BC.$

: Ισόπλευρο και κσθετότητα.png (35.92 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Τα τετράπλευρα $ASCF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BEFA$ είναι ισοσκελή τραπέζια και άρα $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ . Αλλά $\widehat {{a_2}} + \widehat {{a_1}} = 90^\circ$ .

Άμεση συνέπεια: το σημείο

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle PBC$ και το ζητούμενο φανερό .

Αρκετές φορές από μόνο του το σχήμα ( Σε γεωμετρία αλλά και αλλού) «ξεκλειδώνει» μια άσκηση.

Στη λύση ουσιαστικά κάνω υπόδειξη , αλλά μαζί με το σχήμα δεν νομίζω να χρειάζονται περισσότερα ( καταλαβαινόμαστε τώρα!!) .

Άσε που εν όσο κάνω προσπάθεια να είναι σωστό το σχήμα θα μπορούσα να γράψω

πλήρη λύση και μετά ο αναγνώστης να κάνει δικό του σχήμα για να καταλάβει αν ή

λύση μου είναι σωστή ή λάθος.

Henri van Aubel · #3

Καλό μεσημέρι!!!

Είναι φανερό ότι τα τρίγωνα EOD,DOF

είναι ισόπλευρα.

Οπότε είναι $\displaystyle \angle ECP=\angle EAF=\frac {\angle EOF}{2}=60^\circ (1)$

Επίσης εύκολο είναι να δούμε ότι $\displaystyle \angle PEC=\angle BAC=60^\circ (2)$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι το τρίγωνο PCE

είναι ισόπλευρο.

Όμως ισχύει ακόμα ότι $\displaystyle \angle ECD=\frac {\angle EOD}{2}=30^\circ$ ,

άρα η

είναι μεσοκάθετος της PE,

άμεση συνέπεια $\displaystyle \angle DPC=\angle DEC (3)$

Εφόσον $\displaystyle \angle BCP=180^\circ-\angle BCF=180^\circ-(60^\circ +\angle ACF)=120^\circ-\frac {60^\circ +2\cdot \angle DEC}{2}=90^\circ-\angle DEC (4)$ ,

έχουμε το ζητούμενο.

Η άσκηση είναι ένα απλό κυνήγι γωνιών.

Ισόπλευρο και καθετότητα

Ισόπλευρο και καθετότητα

Re: Ισόπλευρο και καθετότητα

Re: Ισόπλευρο και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση