Η τέταρτη πλευρά

KARKAR · #1

: Η τέταρτη πλευρά.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Υπολογίστε το μήκος της πλευράς

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O,7)

, τετραπλεύρου ABCD

.

Θέμα μάλλον τετριμμένο , άρα αναμένονται περισσότερες της μιας λύσεις ...

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:11 pm Η τέταρτη πλευρά.pngΥπολογίστε το μήκος της πλευράς του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τετραπλεύρου .

Θέμα μάλλον τετριμμένο , άρα αναμένονται περισσότερες της μιας λύσεις ...

Στο $\vartriangle CBD$ από τον τύπο : $R = \dfrac{{abc}}{{4E}}$ έχω : $7 = \dfrac{{8 \cdot 9 \cdot BD}}{{4\left( {BCD} \right)}} \Rightarrow \boxed{BD = \dfrac{{9\sqrt {33} + 4\sqrt {15} }}{7}}\,\,\left( 1 \right)$

Με όμοιο τρόπο , $\boxed{AC = \dfrac{{18\sqrt 6 + 5\sqrt {115} }}{7}}\,\,\left( 2 \right)$ .

: Η τέταρτη πλευρά.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Από το Θ. Πτολεμαίου ισχύει: $9d + 8 \cdot 10 = AC \cdot BD$ , λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ η πρώτου βαθμού αυτή εξίσωση δίδει:

$\boxed{d = \dfrac{{5\sqrt {3795} + 54\sqrt {22} + 8\sqrt {690} - 180}}{{49}}}$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:11 pm Η τέταρτη πλευρά.pngΥπολογίστε το μήκος της πλευράς του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τετραπλεύρου .

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα OBC, OCD, ODA

βρίσκω $\displaystyle \cos \omega = \frac{4}{7},\cos \theta = \frac{9}{{14}},\cos \varphi = \frac{5}{7},$

απ' όπου $\displaystyle \sin \omega = \frac{{\sqrt {33} }}{7},\sin \theta = \frac{{\sqrt {115} }}{{14}},\sin \varphi = \frac{{2\sqrt 6 }}{7}.$ Έτσι έχουμε:

: Η τέταρτη πλευρά.ΚΑ.png (18.74 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

$\displaystyle \sin C = \sin (\omega + \theta ) = \frac{{9\sqrt {33} + 4\sqrt {115} }}{{98}},\sin D = \sin (\theta + \varphi ) = \frac{{18\sqrt 6 + 5\sqrt {115} }}{{98}}$

$\displaystyle (CBD) + (ABD) = (BAC) + (DAC) \Leftrightarrow \frac{1}{2}(8 \cdot 9 + 10d)\sin C = \frac{1}{2}(9 \cdot 10 + 8d)\sin D \Leftrightarrow$

$\displaystyle (36 + 5d)\left( {9\sqrt {33} + 4\sqrt {115} } \right) = (4d + 45)\left( {5\sqrt {115} + 18\sqrt 6 } \right),$

απ' όπου παίρνω $\boxed{d = \frac{{\left( {30\sqrt 2 - 12\sqrt {11} + \sqrt {345} } \right)\left( {5\sqrt {11} + 8\sqrt 2 } \right)}}{{49}}}$ (ίδιο αποτέλεσμα με το Νίκο μετά τις πράξεις).

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:11 pm
Θέμα μάλλον τετριμμένο , άρα αναμένονται περισσότερες της μιας λύσεις ...

Αν δεν ήμασταν μαζοχιστές ο Νίκος κι εγώ, θα πήγαινε στα αζήτητα

Η τέταρτη πλευρά

Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Μέλη σε σύνδεση