Χορδή εγκύκλου

KARKAR · #1

: Χορδή εγκύκλου.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Στο τρίγωνο ABC

η διάμεσος

, τέμνει τον έγκυκλο στα σημεία S , T

. Υπολογίστε το μήκος της χορδής

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 01, 2022 8:13 pm Χορδή εγκύκλου.pngΣτο τρίγωνο η διάμεσος , τέμνει τον έγκυκλο στα σημεία . Υπολογίστε το μήκος της χορδής .

Η ημιπερίμετρος του $\vartriangle ABC$ είναι s = 14

. Επειδή (π.χ.) AZ = s - a = 14 - 10 = 4

.

Ομοίως προκύπτουν τα μήκη που αναγράφονται στο σχήμα . Ας είναι ST = x

: χορδή εγκύκλου.png (20.19 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

Επειδή το ZDTS

είναι ισοσκελές τραπέζιο θα είναι : $\vartriangle AZS = \vartriangle MDT$ οπότε : AS = TM = k

.

Από το Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ προκύπτει , $AM = 6\sqrt 2$ και αφού , $A{Z^2} = AS\left( {AS + x} \right)$ θα ισχύουν ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} 2k + x = 6\sqrt 2 \hfill \\ 16 = k(k + x) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow k = x = 2\sqrt 2$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 01, 2022 8:13 pm Χορδή εγκύκλου.pngΣτο τρίγωνο η διάμεσος , τέμνει τον έγκυκλο στα σημεία . Υπολογίστε το μήκος της χορδής .

$\displaystyle BD = \tau - b = 1$ και επειδή το ABM

είναι ισοσκελές, η

είναι μεσοκάθετη του AM,

άρα οι

έχουν κοινό μέσο

Από τον τύπο της διαμέσου παίρνω $AM=6\sqrt 2$ και με Π. Θ στο ABN

είναι $BN=\sqrt 7.$

: Χορδή εγκύκλου.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων BDI, BNM

είναι $\displaystyle \frac{r}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{BI}}{5} = \frac{1}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow r = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }},BI = \frac{5}{{\sqrt 7 }},IN = \frac{2}{{\sqrt 7 }}.$

Πυθαγόρειο στο INS,

$\displaystyle \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{18}}{7} - \frac{4}{7} = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{ST=2\sqrt 2}$

Χορδή εγκύκλου

Χορδή εγκύκλου

Re: Χορδή εγκύκλου

Re: Χορδή εγκύκλου

Μέλη σε σύνδεση