Εντοπισμός σημείου

KARKAR · #1

: Εντοπισμός σημείου.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Στην πλευρά

του τετραγώνου ABCD

, εντοπίστε σημείο

, τέτοιο

ώστε , αν το

είναι το μέσο του

, να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 02, 2022 8:41 pm
Εντοπισμός σημείου.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο

ώστε , αν το είναι το μέσο του , να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

: εντοπισμός σημείου.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Ας είναι

το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και DS=x

οπότε

. Αν

οι ορθές προβολές του μέσου

της

στις

αντίστοιχα, τότε λόγω του μέσου (από το τρίγωνο $\vartriangle SMA\overset{MT\parallel AD}{\mathop{\Rightarrow }}\,TS=\dfrac{DS}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow CT=\dfrac{x}{2}+a-x=\dfrac{2a-x}{2}$ και από το τραπέζιο $SCBA\overset{MN\parallel SC\parallel AB}{\mathop{\Rightarrow }}\,CN=\dfrac{CB}{2}=\dfrac{a}{2}$ .

Σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem θα ισχύει η ισοδυναμία:
$\dfrac{CT}{CN}=\dfrac{CB}{CS}\Leftrightarrow MC\bot SB$ . Είναι $\dfrac{CT}{CN}=\dfrac{CB}{CS}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{2a-x}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{a}{a-x}\overset{x\in \left[ 0,a \right]}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\ldots x=\dfrac{a\left( 3-\sqrt{5} \right)}{2}$

Παρατήρηση: Αν αφήσουμε το

να κινηθεί επί της ημιευθείας

θα υπάρξει σαν λύση και η θέση $x=\dfrac{a\left( 3+\sqrt{5} \right)}{2}$ και άλλες φυσικά περιπτώσεις (τα συμμετρικά) αν κινείται γενικώς στην ευθεία

KARKAR · #3

Η αρχική σκέψη ήταν η εξής διατύπωση : Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{CS}{SD}$ , ώστε : ....

Στάθη ,

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 02, 2022 8:41 pm
Εντοπισμός σημείου.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο

ώστε , αν το είναι το μέσο του , να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

Καλημέρα

Από τη συνθήκη καθετότητας $SC^{2}+MB^{2}=MS^{2}+BC^{2},(*)$

Είναι

$SC^{2}=(a-x)^{2},MS^{2}=\dfrac{a^{2}+x^{2}}{4}, 2MB^{2}=AB^{2}+BS^{2}-\dfrac{AS^{2}}{2}\Rightarrow MB^{2}=\dfrac{5a^{2}+x^{2}}{4}-ax$

Οπότε η $(*)\Rightarrow x^{2}-3ax+a^{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{a(3-\sqrt{5})}{2}$

Εφόσον δόθηκε ότι το σημείο

είναι στη πλευρά DC,x< a

και η άλλη λύση απορρίπτεται

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 02, 2022 8:41 pm
Εντοπισμός σημείου.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο

ώστε , αν το είναι το μέσο του , να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

Θέτω

: Εντοπισμός σημείου.ΚΑ.png (14.22 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

$\displaystyle B{M^2} + S{C^2} = B{C^2} + S{M^2} \Leftrightarrow B{M^2} + {x^2} = {a^2} + \frac{{A{S^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{4BM^2+4x^2=4a^2+AS^2}$ (1)

Από θεώρημα διαμέσων στο SAB,

είναι $\displaystyle S{B^2} + {a^2} = 2B{M^2} + \frac{{A{S^2}}}{2} \Leftrightarrow 2{a^2} + {x^2} = 2B{M^2} + \frac{{A{S^2}}}{2} \Leftrightarrow$

$\boxed{4{a^2} + 2{x^2} = 4B{M^2} + A{S^2}}$ (2)

και με πρόσθεση κατά μέλη των (1)

και

έχω:

$\displaystyle 4{a^2} + 6{x^2} = 4{a^2} + 2\left( {{a^2} + {{(a - x)}^2}} \right) \Leftrightarrow {a^2} - ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{x} = \Phi }$

Χωρίζω λοιπόν το

σε μέσο και άκρο λόγο και εντοπίζω το

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 02, 2022 8:41 pm
Εντοπισμός σημείου.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο

ώστε , αν το είναι το μέσο του , να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

Ας είναι

το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC$ , ενώ

το σημείο τομής της $CM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA$ .

Θέτω $SC = AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = BC = CA = AD = a$ . Θα ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{KS}}{{KB}} = \frac{{C{S^2}}}{{C{B^2}}} \hfill \\ \frac{{SM}}{{MA}} \cdot \frac{{AT}}{{TB}} \cdot \frac{{BK}}{{KS}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (Η δεύτερη από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle SAB$ με τέμνουσα $\overline {CMT}$ )

: Εντοπισμός σημείου_ok.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Έτσι έχω: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{KS}}{{KB}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 1 \cdot \frac{x}{{x + a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{x^2} = a(a - x)}$

Δηλαδή το

διαιρεί το

σε μέσο κι άκρο λόγο .

S.E.Louridas · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 02, 2022 8:41 pm
Στην πλευρά του τετραγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο
ώστε , αν το είναι το μέσο του , να προκύπτει : $SB \perp MC$ .

Γειά σας.
Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος ...
Κατασκευή:
Προσδιορίζουμε το σημείο

ως σημείο τομής (εσωτερικό του τετραγώνου) του κύκλου με διάμετρο

(

)
και της ευθείας που ενώνει τα μέσα των πλευρών BC, DA.

Επομένως το

είναι η τομή της ημιευθείας

με την ευθεία DC.

: a.png (45.09 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Υπολογισμός:
Αν και η ζητούμενη κατασκευή ήδη τελείωσε, ένας τρόπος υπολογισμού, στο διευρυμένο σχήμα είναι: $AZ = SC \Rightarrow ZI = BC,$ με $\angle IZC = \angle CBS,$ από όπου προκύπτει $\vartriangle ITZ = \vartriangle CSB \Rightarrow SC = TN \Rightarrow DS = ST = DC - SC.$
Επομένως παίρνουμε $S{C^2} = SH \cdot SB = ST \cdot SI = SD \cdot DC \Rightarrow$ $S{C^2} = a\left( {a - SC} \right),$ αν

είναι η πλευρά του τετραγώνου.

Εντοπισμός σημείου

Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Re: Εντοπισμός σημείου

Μέλη σε σύνδεση