Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

KARKAR · #1

: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Στο τυχόν οξυγώνιο τρίγωνο ABC

, δείξτε ότι : $D'E' \parallel BC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 12, 2022 1:36 pm
Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία.pngΣτο τυχόν οξυγώνιο τρίγωνο , δείξτε ότι : $D'E' \parallel BC$ .

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{AE'}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Leftrightarrow AD \cdot AE = AB \cdot AE' \hfill \\ \hfill \\ \frac{{AD'}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow AD \cdot AE = AC \cdot AD' \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{AD'}}{{AC'}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 12, 2022 1:36 pm
Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία.pngΣτο τυχόν οξυγώνιο τρίγωνο , δείξτε ότι : $D'E' \parallel BC$ .

Αντιπαράλληλη στην αντιπαράλληλη ( λόγω εγγραψιμων τετραπλεύρων ) αρα παράλληλη

KARKAR · #4

: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία.png (14.22 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Δείξτε τώρα ότι το τραπέζιο : D'E'D''E''

είναι ισοσκελές .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 12, 2022 2:49 pm
Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία.pngΔείξτε τώρα ότι το τραπέζιο : είναι ισοσκελές .

Αν

είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζιού τότε εύκολα απο την παραλληλία και τα εγγράψιμα τετράπλευρα ( λόγω των ορθών γωνιών ) δείχνεται ( γωνιακά ) οτι το τρίγωνο KD'E'

είναι ισοσκελες και κάπου εδω τελειώσαμε ( αφού πλέον το σημείο τομής ανήκει στην μεσοκαθετη της μιας βάσης του ( λόγω του ισοσκελούς που δείξαμε ) και ειναι και σημείο της ευθείας που συνδέει τα μεσα των βάσεων του ( γνωστότατη πρόταση ( όπως και το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών του)) θα ειναι και μεσοκάθετη και της άλλης βάσης του , και το ζητούμενο ακολουθεί

#6

Στο σχήμα του Θανάση πιο πάνω (#4), αρκεί να αποδειχθεί ότι οι βάσεις του τραπεζίου D'E'D''E''

έχουν κοινή μεσοκάθετη ευθεία.

'Εστω

το μέσον του τμήματος DE,

το οποίο ταυτίζεται με το περίκεντρο του εγγραψίμου τετραπλεύρου DED'E'

και επομένως ανήκει στην μεσοκάθετη ευθεία του D'E',

η οποία ως μεσοπαράλληλη ευθεία των $DD''\parallel EE''$ είναι και μεσοκάθετη ευθεία του D''E''

και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση