Μόνο το x σταθερό

KARKAR · #1

: Μόνο το x σταθερό.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Το τμήμα

χωρίζεται με το σημείο

, σε δύο τμήματα BP=b

και

.

Στο επίπεδο θεωρούμε τυχόν σημείο

και επί του

, τυχόν σημείο

. Ας ονομάσουμε

την τομή της

με την

,

την τομή της

με την

και

, την τομή της

με την προέκταση της

.

Δείξτε ότι το μήκος του BS=x

, είναι σταθερό . Εφαρμογή για : b=2 , c=7

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 13, 2022 6:44 pm Μόνο το x σταθερό.pngΤο τμήμα χωρίζεται με το σημείο , σε δύο τμήματα και .

Στο επίπεδο θεωρούμε τυχόν σημείο και επί του , τυχόν σημείο . Ας ονομάσουμε

την τομή της με την , την τομή της με την και , την τομή της

με την προέκταση της .

Δείξτε ότι το μήκος του , είναι σταθερό . Εφαρμογή για : .

Ως γνωστόν (αποδεικνύεται άλλωστε απλά από Ceva και Μενέλαο στο τρίγωνο ABC

με συντρέχουσες στο

και διατέμνουσα την SNL

, βλέπε (*)) έχουμε

$\dfrac {BS}{SC}= \dfrac {BP}{PC}=$ σταθερό $\dfrac {b}{c}$ . Τελειώσαμε αφού είναι μοναδικό το σημείο που χωρίζει την

σε δοθέντα λόγο. Άλλωστε εδώ $\dfrac {x}{x+b+c} = \dfrac {b}{c}$ . Και λοιπά.

(*) Aν θέλουμε την πλήρη απόδειξη αν και περιττεύει ως γνωστό θέμα, έχουμε $\dfrac {BS}{SC} \dfrac {CL}{LA}\dfrac {AN}{NB}=1$ και $\dfrac {BP}{PC} \dfrac {CL}{LA}\dfrac {AN}{NB}=1$ (χωρίς τα πρόσημα). Τώρα συγκρίνουμε.

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 13, 2022 6:44 pm Μόνο το x σταθερό.pngΤο τμήμα χωρίζεται με το σημείο , σε δύο τμήματα και .

Στο επίπεδο θεωρούμε τυχόν σημείο και επί του , τυχόν σημείο . Ας ονομάσουμε

την τομή της με την , την τομή της με την και , την τομή της

με την προέκταση της .

Δείξτε ότι το μήκος του , είναι σταθερό . Εφαρμογή για : .

Σταθερά: $BC = a\,\,,\,\,PB = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = c$ . Η πολική του

ως προς τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ είναι η

.

: Σταθερό μόνο το x.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Η τετράδα , $\left( {S,P\backslash B,C} \right)$ είναι αρμονική . $\boxed{\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{SB}}{{SC}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{x}{{x + a}} \Leftrightarrow x = \frac{{ab}}{{c - b}}}$

Εφαρμογή : $\boxed{x = \frac{{2 \cdot 9}}{{7 - 2}} = \frac{{18}}{5}}$

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 13, 2022 6:44 pm Μόνο το x σταθερό.pngΤο τμήμα χωρίζεται με το σημείο , σε δύο τμήματα και .

Στο επίπεδο θεωρούμε τυχόν σημείο και επί του , τυχόν σημείο . Ας ονομάσουμε

την τομή της με την , την τομή της με την και , την τομή της

με την προέκταση της .

Δείξτε ότι το μήκος του , είναι σταθερό . Εφαρμογή για : .

Τα ίδια με διαφορετική αιτιολόγηση. Στο πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle ANTLBC$ κάθε διαγώνιος

χωρίζεται αρμονικά από τις άλλες δύο. Άρα, $\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{x}{{x + b + c}} \Leftrightarrow x = \frac{{b(b + c)}}{{c - b}} = ct$

Μόνο το x σταθερό

Μόνο το x σταθερό

Re: Μόνο το x σταθερό

Re: Μόνο το x σταθερό

Re: Μόνο το x σταθερό

Μέλη σε σύνδεση