Η τρίτη ακτίνα

KARKAR · #1

: Η τρίτη ακτίνα.png (14.6 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Ο μικρός κύκλος έχει ακτίνα R=1

. Βρείτε την

συναρτήσει της $\rho$ . Πότε είναι : $r=\rho$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 18, 2022 8:30 am Η τρίτη ακτίνα.pngΟ μικρός κύκλος έχει ακτίνα . Βρείτε την συναρτήσει της $\rho$ . Πότε είναι : $r=\rho$ ;

Προφανώς, $r, \rho>1$ (αλλιώς δεν θα εφάπτονται μεταξύ τους). Με Πυθαγόρειο έχω:

: Η 3η ακτίνα.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

α) $\displaystyle {(\rho + r)^2} = {(\rho - r)^2} + 4{\left( {\sqrt \rho + \sqrt r } \right)^2} \Leftrightarrow \rho r - \rho - r = 2\sqrt {\rho r} \Leftrightarrow r(\rho - 1) - \rho = 2\sqrt {\rho r}$

$\displaystyle {(\rho - 1)^2}{r^2} - 2\rho (\rho - 1)r + {\rho ^2} = 4\rho r \Leftrightarrow {(\rho - 1)^2}{r^2} - 2\rho (\rho + 1)r + {\rho ^2} = 0$

$\displaystyle r = \frac{{\rho (\rho + 1 + 2\sqrt \rho )}}{{{{(\rho - 1)}^2}}} = \frac{{\rho {{(\sqrt \rho + 1)}^2}}}{{{{(\rho - 1)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \frac{\rho }{{{{(\sqrt \rho - 1)}^2}}}}$

Η άλλη ρίζα $\displaystyle r = \frac{\rho }{{{{(\sqrt \rho + 1)}^2}}}$ απορρίπτεται γιατί δίνει τιμή μικρότερη του

β) Εύκολα τώρα προκύπτει πως αν οι ακτίνες είναι ίσες, θα είναι $\boxed{r=\rho=4}$

Η τρίτη ακτίνα

Η τρίτη ακτίνα

Re: Η τρίτη ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση