Η περίμετρος κλέβει την παράσταση

#1

: Η περίμετρος κλέβει την παράσταση.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Έστω

το μέσο της υποτείνουσας BC=a

ορθογωνίου τριγώνου ABC, c<b

και

το έγκεντρο. Φέρνω

τη διάμετρο

του εγγεγραμμένου κύκλου που είναι κάθετη στη MI.

Αν η περίμετρος του ABC

είναι

και

η περίμετρος του KLM

είναι

να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle A = a(b + 2)(b - c).$

KARKAR · #2

: 2023.png (26.83 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Έστω

το σημείο επαφής με την υποτείνουσα . Είναι γνωστά ( και πάντως απλά )

ότι : $r=ID=IL=IK=\dfrac{b+c-a}{2}$ και $DM=\dfrac{b-c}{2}$ .

Αλλά : MK^2=ML^2=IL^2+IM^2=IL^2+ID^2+DM^2

.

Έτσι έχουμε το σύστημα : $\begin{bmatrix} a+b+c & =40\\ b^2+c^2&=a^2 \\ b+c-a+\sqrt{5a^2+2bc-4a(b+c)}&=17 \end{bmatrix}$

το οποίο δίνει την ( αναμενόμενη ) λύση : a=17 , b=15 , c=8

Οπότε η ζητούμενη παράσταση είναι φυσικά το "ευτυχές" : 2023

#3

Σ' ευχαριστώ Θανάση που τακτοποίησες "εμπρόθεσμα" το θέμα

Ας απλοποιήσουμε λίγο την τρίτη εξίσωση του συστήματος. Το

εκτός από μέσο της

είναι και περίκεντρο του ABC.

Άρα, $\displaystyle M{I^2} = {R^2} - 2Rr = K{M^2} - {r^2} \Leftrightarrow KM =ML= R - r.$

Οπότε, $\displaystyle KL + LM + MK = 2r + R - r + R - r \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2R=17}$

Η περίμετρος κλέβει την παράσταση

Η περίμετρος κλέβει την παράσταση

Re: Η περίμετρος κλέβει την παράσταση

Re: Η περίμετρος κλέβει την παράσταση

Μέλη σε σύνδεση